snakes

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Changing

算法一

我会随机！

由于我忘了设置多组数据，期望得分0至100。

算法二

我会模拟！

复杂度\(O(t^2)\),期望得分60。

但是很多人忘记题目给出的是环形……

算法三

我会正解！

实际上是数学题，显然时刻tt第kk盏灯的状态为

\[\left(\sum_{i=0}^t C_t^ia_{(k+i-1) \bmod n+1}\right) \bmod 2
\]

求和即可。复杂度O(t)，期望得分100。

Calculating

算法一

我会推公式！

将ff分解质因数得到

$$f=p_1^{k_1}p_2{k_2}..p_j^{a_j}$$

，则题目实际上要求：

\[ans=\sum_{f=l}^r\prod_{i=1}^j p_i^{a_i+1}
\]

记f因数个数为d(f)，则由排列组合可得：

\[\prod_{i=1}^j p_i^{a_i+1}=d(f)
\]

则原式化为：

\[ans=\sum_{f=l}^rd(f)
\]

暴力统计答案。时间复杂度\(O(r^2)\)，期望得分40。

算法二

我会拆询问！

实际上，我们有：

\[ans=\sum_{i=1}^rd(i)-\sum_{j=1}^{l-1}d(j)
\]

考虑如何求\(\sum_{i=1}^rd(i)\)，

对于[1,r]的整数k，k作为因数在[1,r]中出现了\(\left\lfloor \frac rk \right\rfloor\)次，

显然对答案的贡献为\(\left\lfloor \frac rk \right\rfloor\)。

则：

\[ans=\sum_{i=1}^r\left\lfloor \frac ri \right\rfloor-\sum_{j=1}^{l-1}\left\lfloor \frac {l-1}j \right\rfloor
\]

枚举k，统计答案。时间复杂度\(O(2r)\)，期望得分60到70之间。

算法三

我会分块！

注意到\(\left\lfloor \frac rk \right\rfloor\)最多有$$2\sqrt r$$种取值，我们对其分类统计答案即可。

做法类似没有莫比乌斯函数的莫比乌斯反演。

时间复杂度\(O(4\sqrt r)\)，可通过全部测试点。

PS:至于为什么会有100100个测试点……这是个好问题。

Coloring

算法一

我会随机！

没试过，期望得分40以下。

算法二

我会骗分！

按从左往右，从上往下的顺序依次填颜色，期望得分60。

算法三

我会贪心！

手玩几个例子不难发现把相同颜色的放在一起更优。每次填颜色，贪心找一块在边界且尽可能大的位置，放下该颜色的所有格子。期望得分70至90。

算法四

我会搜索！

搜索时间复杂度\(O(c^{nm})\)，超时无疑。

嘿嘿嘿。

算法五

我会物理！

哦豁？搜索其实很靠近正解，但是时间太慢。我们考虑模拟退火。

每次操作交换两个在联通块边界的格子，计算答案是否更优，按概率更新。

算法六

等等……为啥会是90？

因为你可能会陷入局部最优解。

多随机几次就好了。

时间复杂度\(O(O(跑得过))\)，期望得分100。

T1

#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=3000005;
int n,q,z,i,t,g[maxn];
int a[maxn],ans;
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&q,&z);
    z--;
    for (i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for (i=1;i<=q>>1;i++)
        g[i<<1]=g[i]+1;
    t=0;
    for (i=0;i<=q;i++)
    {
        t=t+g[q-i+1]-g[i];
        ans+=(t==0)*a[(i+z)%n];
    }
    printf("%d\n",ans&1);
    return 0;
}

T2

#include <cstdio>
#define mod 998244353
using namespace std;
long long l,r;
long long calc(long long n)
{
    long long ans=0;
    for (long long i=1;i<=n;i=n/(n/i)+1)
        ans=(ans+(n/(n/i)-i+1)%mod*(n/i)%mod)%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&l,&r);
    printf("%lld\n",(calc(r)-calc(l-1)+mod)%mod);
    return 0;
}

T3

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
int q,x,y,i,j,k,m[25][25],mm[25][25];
int mx,my,tx,ty;
double t,tmin,tmp,ans,delta,now;
int tot[51],cl,top[51];
bool move;
int lans,lm[25][25];
inline double search()
{
    t=x*y;
    delta=0.99998;
    tmin=0.0001;
    ans=0;
    for (j=1;j<=x;j++)
        for (k=1;k<y;k++)
            ans+=m[j][k]!=m[j][k+1];
    for (j=1;j<x;j++)
        for (k=1;k<=y;k++)
            ans+=m[j][k]!=m[j+1][k];
    for (j=1;j<=x;j++)
        for (k=1;k<=y;k++)
            mm[j][k]=m[j][k];
    for (i=1;i<=x;i++)
    {
        mm[i][0]=mm[i][1];
        mm[i][y+1]=mm[i][y];
    }
    for (i=1;i<=y;i++)
    {
        mm[0][i]=mm[1][i];
        mm[x+1][i]=mm[x][i];
    }
    tmp=now=ans;
    while (tmin<t)
    {
        while (1)
        {
            mx=rand()%x+1;
            my=rand()%y+1;
            tx=rand()%x+1;
            ty=rand()%y+1;
            if (mm[mx][my]==mm[tx][ty])
                continue;
            if (mm[mx-1][my]==mm[mx+1][my]&&
                mm[mx+1][my]==mm[mx][my-1]&&
                mm[mx][my-1]==mm[mx][my+1]&&
                mm[mx][my+1]==mm[mx][my])
                continue;
            if (mm[tx-1][ty]==mm[tx+1][ty]&&
                mm[tx+1][ty]==mm[tx][ty-1]&&
                mm[tx][ty-1]==mm[tx][ty+1]&&
                mm[tx][ty+1]==mm[tx][ty])
                continue;
            move=0;
            tmp-=(mm[mx-1][my]!=mm[mx][my])+(mm[mx+1][my]!=mm[mx][my])+(mm[mx][my+1]!=mm[mx][my])+(mm[mx][my-1]!=mm[mx][my]);
            tmp-=(mm[tx-1][ty]!=mm[tx][ty])+(mm[tx+1][ty]!=mm[tx][ty])+(mm[tx][ty+1]!=mm[tx][ty])+(mm[tx][ty-1]!=mm[tx][ty]);
            swap(mm[mx][my],mm[tx][ty]);
            for (i=1;i<=x;i++)
            {
                mm[i][0]=mm[i][1];
                mm[i][y+1]=mm[i][y];
            }
            for (i=1;i<=y;i++)
            {
                mm[0][i]=mm[1][i];
                mm[x+1][i]=mm[x][i];
            }
            tmp+=(mm[mx-1][my]!=mm[mx][my])+(mm[mx+1][my]!=mm[mx][my])+(mm[mx][my+1]!=mm[mx][my])+(mm[mx][my-1]!=mm[mx][my]);
            tmp+=(mm[tx-1][ty]!=mm[tx][ty])+(mm[tx+1][ty]!=mm[tx][ty])+(mm[tx][ty+1]!=mm[tx][ty])+(mm[tx][ty-1]!=mm[tx][ty]);
            if (tmp<ans)
            {
                ans=tmp;
                for (j=1;j<=x;j++)
                    for (k=1;k<=y;k++)
                        m[j][k]=mm[j][k];
                move=1;
            }
            if (tmp<=now)
            {
                now=tmp;
                move=1;
            }
            else
                if (rand()/(double)RAND_MAX<exp((ans-tmp)/t))
                {
                    now=tmp;
                    move=1;
                }
            if (!move)
            {
                tmp-=(mm[mx-1][my]!=mm[mx][my])+(mm[mx+1][my]!=mm[mx][my])+(mm[mx][my+1]!=mm[mx][my])+(mm[mx][my-1]!=mm[mx][my]);
                tmp-=(mm[tx-1][ty]!=mm[tx][ty])+(mm[tx+1][ty]!=mm[tx][ty])+(mm[tx][ty+1]!=mm[tx][ty])+(mm[tx][ty-1]!=mm[tx][ty]);
                swap(mm[mx][my],mm[tx][ty]);
                for (i=1;i<=x;i++)
                {
                    mm[i][0]=mm[i][1];
                    mm[i][y+1]=mm[i][y];
                }
                for (i=1;i<=y;i++)
                {
                    mm[0][i]=mm[1][i];
                    mm[x+1][i]=mm[x][i];
                }
                tmp+=(mm[mx-1][my]!=mm[mx][my])+(mm[mx+1][my]!=mm[mx][my])+(mm[mx][my+1]!=mm[mx][my])+(mm[mx][my-1]!=mm[mx][my]);
                tmp+=(mm[tx-1][ty]!=mm[tx][ty])+(mm[tx+1][ty]!=mm[tx][ty])+(mm[tx][ty+1]!=mm[tx][ty])+(mm[tx][ty-1]!=mm[tx][ty]);
                for (i=1;i<=x;i++)
                {
                    mm[i][0]=mm[i][1];
                    mm[i][y+1]=mm[i][y];
                }
                for (i=1;i<=y;i++)
                {
                    mm[0][i]=mm[1][i];
                    mm[x+1][i]=mm[x][i];
                }
            }
            break;
        }
        t*=delta;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&cl);
    for (i=1;i<=cl;i++)
        scanf("%d",&tot[i]);
    lans=0x7FFFFFFF;
    for (q=1;q<=3;q++)
    {
        memset(top,0,sizeof(top));
        srand(time(0));
        for (i=1;i<=x;i++)
            for (j=1;j<=y;j++)
            {
                m[i][j]=rand()%cl+1;
                while (top[m[i][j]]==tot[m[i][j]])
                    m[i][j]=rand()%cl+1;
                top[m[i][j]]++;
            }
        search();
        if (ans<lans)
        {
            for (i=1;i<=x;i++)
                for (j=1;j<=y;j++)
                    lm[i][j]=m[i][j];
            lans=ans;
        }
    }
    for (i=1;i<=x;i++)
    {
        for (j=1;j<=y;j++)
            printf("%d ",lm[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}