发展一个有效算法的具体(一般)过程:

union-find用来解决dynamic connectivity,下面主要讲quick find和quick union及其应用和改进。

基本操作:find/connected queries和union commands

动态连接性问题的场景:

1.1  建立模型(Model the problem):

关于object:0-N-1

关于连接的等价性:

关于连接块:

关于基本操作find query和union command:

比如union操作:

目标:

练习:

答案:C。最后剩下的连接块有{0,5,6}{3,4}{1,2,7,8,9}。

1.2  算法及其改进(Algorithm and improvement):

1.2.1  Quick Find

实现过程:

 public class QuickFindUF
{
private int[] id; public QuickFindUF(int N)
{
id = new int[N];
for (int i = 0; i < N; i++)
id[i] = i;
} public boolean connected(int p, int q)
{ return id[p] == id[q]; } public void union(int p, int q)
{
int pid = id[p];
int qid = id[q];
for (int i = 0; i < id.length; i++)
//这里有个约定:
//p和q联合的时候,所有和p是一个连接块(connected conponents)的点的id都要设置为与id[q]相等
if (id[i] == pid) id[i] = qid;
}
}

各个函数的时间复杂度:

弊端:

对N个实体做N次的union操作,时间复杂度是O(N2)。换言之,Quick find太慢,不适合大量的数据。

练习:

答案:C。最差情况就是除了id[q],其他元素都要改变。

1.2.2  Quick Union

说明:

实现过程:

 public class QuickUnionUF
{
private int[] id;//id[i],节点i的父节点 public QuickFindUF(int N)
{
id = new int[N];
//划分为N棵子树,每个子树的根节点就是本身
for (int i = 0; i < N; i++)
id[i] = i;
} private int root(int i)//找打i所在子树的根节点
{
//如果id[i] == i,说明i是某一棵子树的根节点
while (i != id[i]) i = id[i];
return i;
} public boolean connected(int p, int q)
{
return root(p) == root(q);
} public void union(int p, int q)//将p所在子树的根节点的父节点设为q所在子树的根节点
{
int i = root(p);
int j = root(q);
id[i] = j;
}
}

各个操作的时间复杂度:注意quick union的union和find是最差情况(例如,形成的子树很高)的时间复杂度。

弊端:

练习:

答案:D。3的根节点是6:3->5->2->6。7的根节点是6:7->1->9->5->2->6。

练习:

答案:C

1.2.3  Weighted quick union

Improvement 1:weighting。为每个树保留track记录树的规模;union的时候将规模小的树的根节点添加为规模大的树的根节点的子节点。主要针对Quick union中容易出现树很高的情况。

实现过程:

 public class WeightedQuickUnionUF {
private int[] id,sz; public WeightedQuickUnionUF(int N)
{
id = new int[N];
sz = new int[N];//记录以i为根节点的树的节点个数
for (int i = 0; i < N; i++)
{
sz[i] = 1;
id[i] = i;
}
} private int root(int i)//和quick union相同
{
while (i != id[i]) i = id[i];
return i;
} public boolean connected(int p, int q)//和quick union相同
{
return root(p) == root(q);
} public void union(int p, int q)
{
int i = root(p);
int j = root(q);
if (i == j) return;
if (sz[i] < sz[j]){id[i] = j; sz[j] += sz[i];}
else {id[j] = i; sz[i] += sz[j];}
}
}

各个函数的时间复杂度:注意到weighted quick union中的union和connected操作的时间复杂度都是log2N。

命题:按照Weighted quick union实现的树的任意一个节点的深度不会超过log2N。

证明:关注任意节点x。

1. 只有当包含x的子树T1作为lower tree被合并的时候,x的深度才有可能增加1。

2. 另一棵树T2,其中sz[T2]>=sz[T1]。

每合并1次,树的规模*2,并且最后的树的规模==N,所以x最多只能增加log2N次,意味着节点x最后的深度不会超过log2N。

Weighted quick union和Quick union的比较实例:

Weighted quick union实现结果更加均衡,叶节点到根的距离最大为4,每个节点到根节点的距离的平均要远远小于Quick union的结果。

1.2.4 Weighted quick union with path compressioin

Improvement 2:path compression。就是路径压缩。

实现过程有2种方式:主要区别是root函数的实现。

1. 找到当前点x的根节点后,将x与根节点相连路径上的所有节点的父节点设为根节点。

2. 在寻找当前点x的根节点的过程中,直接将x的父节点设置为x的父节点的父节点。

下面只展示union函数的实现:

方式1:

 private int root(int i)
{
if (id[i] == i) return i;//只有指向根节点才返回
return id[i] = root(id[i]);
}

方式2:

     private int root(int i)
{
while (i != id[i])
{
id[i] = id[id[i]];//指向父节点的父节点
i = id[i];
}
return i;
}

对N个点使用Weighted quick union with path compressioin中的union find操作m次的时间复杂度:

关于lg*的解释:http://stackoverflow.com/questions/2387656/what-is-olog-n/2387669

log* (n)- "log Star n" as known as "Iterated logarithm"

In simple word you can assume log* (n)= log(log(log(.....(log* (n))))

已经证明,union find问题的时间复杂度不可能到O(N)。

练习:

答案:

总结:

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