平衡树 替罪羊树（Scapegoat Tree）

替罪羊树（Scapegoat Tree）

入门模板题 洛谷oj P3369

题目描述

　　您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：

1. 插入xx数
2. 删除xx数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询xx数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数+1+1。若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为xx的数
5. 求xx的前驱(前驱定义为小于xx，且最大的数)
6. 求xx的后继(后继定义为大于xx，且最小的数)

输入格式

　　第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号( 1≤opt≤6 )

输出格式

　　对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案

输入样例

10

1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

输出样例

106465

84185
492737

数据范围

1.n的数据范围： n≤100000

2.每个数的数据范围： [-10^7, 10^7]

　　网上的资料比较琐碎难懂，之前看了很多资料一直不能理解平衡树（我太弱了）……前几天突然莫名其妙明白了，想写一篇笔记记录一下（乱写一通）。

0x00 二叉查找树

　　要初步弄懂平衡树，首先要知道这是一棵二叉查找树。

　　二叉查找树（Binary Search Tree），当然也可以叫它二叉搜索树，或者二叉排序树（反正都一个意思都是二叉树），它的定义如下：

　　　　或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

　　　　差不多就像下面这幅图一样：

0x01 平衡树的用途

　　在学平衡树这个数据结构前，相信我们一定会先有个问题：平衡树能拿来干什么？

　　网上的很多资料对这一点写得不太明白（也可能是我太弱了），我先试着乱总结一下：
　　　　现在需要一种数据结构，它需要做到以下几点：
　　　　　1. 高效地查询一个序列中某个数的前面和后面的数（a[i-1]和a[i+1]）。
　　　　　2. 高效地知道第i个数是什么（即a[i]）。
　　　　　3. 高效地插入和删除。
　　显然，我们可以用普通数组优秀地完成第1点和第2点，但第3点不能够了。当然，我们也可以用链表，复杂度O(1)优秀地完成第1点和第3点，但是对于第2点，链表的复杂度就达到了不太理想的O(n)。
　　那我们能不能想办法优化一下链表呢？

　　我们可以回头看一下二叉搜索树的定义，然后我们会发现，假设存在一个从1到8的链表（就像下图，win自带画图画的，不太好看）

　　其实它也满足左边小于右边的定义，也可以勉强算是一棵以序号为每个节点的权值的二叉查找树。

　　

　　但是这样的一棵二叉树是不是很难看很畸形？
　　我们怎么想办法把它变成一棵比较好看的树呢？
　　可以拿笔画画看：
　　我们尝试把中间的节点（4或者5，我选择4）拎出来，然后就变成了这样：

　　

　　是不是好看了一点？有点树的形状了，那我们可以尝试继续把两侧链上的中间节点继续拎出来，不断重复，最终会变成一棵比较好看的树。

　　
　　这就是平衡二叉树，严格遵守了二叉查找树的定义——左儿子小于右儿子。
　　也许你会有疑问：长成这样的一棵树，怎么做到刚刚链表都不能完全做到的3点要求呢？
　　让我们再看看这棵树：

0x02 查询前驱和后驱
　　对于一个我们已知的节点i，我们先定义与它深度相同的都是它的兄弟节点。

　　那么很显然，i的左兄弟及其子树上的所有节点都比i的左儿子及其子树上的所有节点来得小，且i的左儿子及其子树上的所有点都比i的父亲更大，所以显然，i的前驱要在i的左儿子及其子树上找。

　　同理，仔细观察图，会发现我们所要找的前驱，存在于i的左儿子子树的最右侧，就是i的左儿子的右儿子的右儿子的右儿子的右儿子……（直到最后一个右儿子）

　　这样，我们就可以O(log n)地求出i的前驱了。i的后驱同理。

0x03 查询第i个数

　　前面说过，我们用数的序列编号作为节点的排序权值，所以我们只要像线段树那样从根部开始查一遍就可以了。详细解释：

　　从根结点开始，如果第i个数比当前节点j的序号小，就往左儿子搜，反之右儿子。直到找到第i个数，时间复杂度还是O(log n)。

0x04 插入和删除
　　插在原序列的末尾，所以新节点的编号是n+1。然后我们把这个节点变成根结点的右儿子的右儿子的右儿子……(变成最后一个没有右儿子的节点的右儿子)。

　　删除。其实就是把i节点打个被删除掉的标记（甚至不打也可以）。然后让i的左右儿子之一成为i的父节点的新儿子（就是让某一个儿子取代i节点）。复杂度同O（log n）

　　基本操作差不多就是这样。

　　那么其实还有一个问题：如果操作太多，导致一棵本来平衡的树变成了一条链表，复杂度爆炸，怎么办呢？

0x05 重新建树
　　如果你选择的是替罪羊树，那就是优雅的暴力了。替罪羊树在每个节点上记录子树的节点数size，同时还有一个平衡因子alpha（通常在0.5左右，我选择0.7），当每次更新后，递归回去检查i节点的左右儿子分别乘以平衡因子，是否大于另一个儿子，如果大了，代表这棵树有退化的倾向，赶紧拍平重建（就是把树压成链表，重新建树）。

　　大概就是这样，手机打的好难受，直接上代码好了。

　　(其实我一开始做平衡树时觉得可以用线段树模拟的emmm，就不说了)

　　代码可以配合洛谷的模板题食用

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int INF=;
const int MAX_N=;
const double alpha=0.75;

int n;
inline int read(){
    register int ch=getchar(),x=,f=;
    while (ch<''||ch>''){
        if (ch=='-')    f=-;
        ch=getchar();
    } while (ch>=''&&ch<=''){
        x=x*+ch-'';
        ch=getchar();
    } return x*f;
}
struct Tree{
    int fa;
    int size;
    int value;
    int son[];
}tree[MAX_N];
int cnt=;
int root=;
int node[MAX_N];
int sum;

bool balance(int x){    //判断是否平衡
    return (double)tree[x].size*alpha>=(double)tree[tree[x].son[]].size&&(double)tree[x].size*alpha>=(double)tree[tree[x].son[]].size;
}
int build(int l,int r){    //重新递归建树
    if (l>r)    return ;
    int mid=(l+r)>>;
    tree[tree[node[mid]].son[]=build(l,mid-)].fa=node[mid],tree[tree[node[mid]].son[]=build(mid+,r)].fa=node[mid];
    tree[node[mid]].size=tree[tree[node[mid]].son[]].size+tree[tree[node[mid]].son[]].size+;
    return node[mid];
}
void recycle(int x){    //把树压成数列
    if (tree[x].son[])    recycle(tree[x].son[]);
    node[++sum]=x;
    if (tree[x].son[])    recycle(tree[x].son[]);
}
void rebuild(int x){
    sum=;
    recycle(x);
    int fa=tree[x].fa,son=(tree[tree[x].fa].son[]==x),now=build(,sum);
    tree[tree[fa].son[son]=now].fa=fa;
    if (x==root)    root=now;
}
void insert(int x){
    int i=root,now=++cnt;    //新节点序号
    tree[now].size=,tree[now].value=x;
    while (true){
        tree[i].size++;
        bool son=(x>=tree[i].value);
        if (tree[i].son[son])    i=tree[i].son[son];
        else{
            tree[tree[i].son[son]=now].fa=i;
            break;
        }
    }
    int flag=;
    for (int j=now;j;j=tree[j].fa)    //logn找不平衡的节点
        if (!balance(j))    flag=j;
    if (flag)    rebuild(flag);    //重建树
}

int get_num(int x){
    int i=root;
    while (true){
        if(tree[i].value==x)    return i;
        else    i=tree[i].son[tree[i].value<x];
    }
}
void erase(int x){    //删除
    if (tree[x].son[]&&tree[x].son[]){
        int now=tree[x].son[];
        while (tree[now].son[])    now=tree[now].son[];
        tree[x].value=tree[now].value;
        x=now;
    }
    int son=(tree[x].son[])?tree[x].son[]:tree[x].son[];
    int k=(tree[tree[x].fa].son[]==x);
    tree[tree[tree[x].fa].son[k]=son].fa=tree[x].fa;
    for (int i=tree[x].fa;i;i=tree[i].fa)
        tree[i].size--;
    if (x==root)
        root=son;
}
int get_rank(int x){
    int i=root,ans=;
    while (i)
        if(tree[i].value<x)    ans+=tree[tree[i].son[]].size+,i=tree[i].son[];
        else    i=tree[i].son[];
    return ans;
}
int get_kth(int x){
    int i=root;
    while (true)
        if (tree[tree[i].son[]].size==x-)    return i;
        else if (tree[tree[i].son[]].size>=x)    i=tree[i].son[];
        else    x-=tree[tree[i].son[]].size+,i=tree[i].son[];
    return i;
}
int get_front(int x){
    int i=root,ans=-INF;
    while(i)
        if(tree[i].value<x)    ans=max(ans,tree[i].value),i=tree[i].son[];
        else    i=tree[i].son[];
    return ans;
}
int get_behind(int x){
    int i=root,ans=INF;
    while(i)
        if(tree[i].value>x)    ans=min(ans,tree[i].value),i=tree[i].son[];
        else    i=tree[i].son[];
    return ans;
}
int main(){
//    freopen("test1.in","r",stdin);
    tree[].value=-INF,tree[].size=,tree[].son[]=;
    tree[].value=INF,tree[].size=,tree[].fa=;
    n=read();
    for(int i=,op,x;i<=n;i++){
        op=read(),x=read();
        if(op==)    insert(x);
        if(op==)    erase(get_num(x));
        if(op==)    printf("%d\n",get_rank(x));
        if(op==)    printf("%d\n",tree[get_kth(x+)].value);
        if(op==)    printf("%d\n",get_front(x));
        if(op==)    printf("%d\n",get_behind(x));
    }
}

其他例题

大体上按难度排序？我太弱了也搞不懂。

一.[HNOI2002]营业额统计 （2019.4.10更新）

洛谷oj P2234

　　据说有各种神犇用许多神奇的解法A掉了……但是我这种蒟蒻就先用平衡树练手了。

　　min{|该天以前某一天的营业额-该天营业额|}，即不大于a[i]的最大值和不小于a[i]的最小值，就是寻找a[i]的前驱和后驱，分别减去a[i]取绝对值，再全部加起来，复杂度应该是O(nlogn)。

　　代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int INF=;
const int MAX_N=;
const double alpha=0.75;

int n;
inline int read(){
    register int ch=getchar(),x=,f=;
    while (ch<''||ch>''){
        if (ch=='-')    f=-;
        ch=getchar();
    } while (ch>=''&&ch<=''){
        x=x*+ch-'';
        ch=getchar();
    } return x*f;
}
struct Tree{
    int fa;
    int size;
    int value;
    int son[];
}tree[MAX_N];
int cnt=;
int root=;
int node[MAX_N];
int sum;

bool balance(register int x){    //判断是否平衡
    return (double)tree[x].size*alpha>=(double)tree[tree[x].son[]].size&&(double)tree[x].size*alpha>=(double)tree[tree[x].son[]].size;
}
inline int build(register int l,register int r){    //重新递归建树
    if (l>r)    return ;
    int mid=(l+r)>>;
    tree[tree[node[mid]].son[]=build(l,mid-)].fa=node[mid],tree[tree[node[mid]].son[]=build(mid+,r)].fa=node[mid];
    tree[node[mid]].size=tree[tree[node[mid]].son[]].size+tree[tree[node[mid]].son[]].size+;
    return node[mid];
}
void recycle(register int x){    //把树压成数列
    if (tree[x].son[])    recycle(tree[x].son[]);
    node[++sum]=x;
    if (tree[x].son[])    recycle(tree[x].son[]);
}
void rebuild(register int x){
    sum=;
    recycle(x);
    int fa=tree[x].fa,son=(tree[tree[x].fa].son[]==x),now=build(,sum);
    tree[tree[fa].son[son]=now].fa=fa;
    if (x==root)    root=now;
}
void insert(register int x){
    int i=root,now=++cnt;    //新节点序号
    tree[now].size=,tree[now].value=x;
    while (true){
        tree[i].size++;
        bool son=(x>=tree[i].value);
        if (tree[i].son[son])    i=tree[i].son[son];
        else{
            tree[tree[i].son[son]=now].fa=i;
            break;
        }
    }
    int flag=;
    for (int j=now;j;j=tree[j].fa)    //logn找不平衡的节点
        if (!balance(j))    flag=j;
    if (flag)    rebuild(flag);    //重建树
}

inline int get_front(register int x){
    register int i=root,ans=-INF;
    while(i)
        if(tree[i].value<x)    ans=max(ans,tree[i].value),i=tree[i].son[];
        else    i=tree[i].son[];
    return ans;
}
inline int get_behind(register int x){
    register int i=root,ans=INF;
    while(i)
        if(tree[i].value>x)    ans=min(ans,tree[i].value),i=tree[i].son[];
        else    i=tree[i].son[];
    return ans;
}
bool flag[+];
int result;
int main(){
//  freopen("test1.in","r",stdin);
    tree[].value=-INF,tree[].size=,tree[].son[]=;
    tree[].value=INF,tree[].size=,tree[].fa=;
    n=read();
    int kkk=read();
    result+=kkk;
    insert(kkk);
    flag[kkk]=true;
    for (int i=,a,min,max;i<=n;i++){
        a=read();
        if (flag[a])    continue;
        flag[a]=true;
        insert(a);
        min=get_front(a);
        max=get_behind(a);
        if (min==-INF){
            result+=(max-a);
            continue;
        }
        else if (max==INF){
            result+=(a-min);
            continue;
        }
        result+=(a-min>max-a?max-a:a-min);
    }
    printf("%d",result);
    return ;
}

[学习自百度百科和其他网络资料]