上次那篇文章在理论层次介绍了下协方差矩阵,没准很多人觉得这东西用处不大,其实协方差矩阵在好多学科里都有很重要的作用,比如多维的正态分布,再比如今天我们今天的主角——主成分分析(Principal Component Analysis,简称PCA)。结合PCA相信能对协方差矩阵有个更深入的认识。

PCA的缘起

PCA大概是198x年提出来的吧,简单的说,它是一种通用的降维工具。在我们处理高维数据的时候,为了能降低后续计算的复杂度,在“预处理”阶段通常要先对原始数据进行降维,而PCA就是干这个事的。本质上讲,PCA就是将高维的数据通过线性变换投影到低维空间上去,但这个投影可不是随便投投,要遵循一个指导思想,那就是:找出最能够代表原始数据的投影方法。这里怎么理解这个思想呢?“最能代表原始数据”希望降维后的数据不能失真,也就是说,被PCA降掉的那些维度只能是那些噪声或是冗余的数据。这里的噪声和冗余我认为可以这样认识:

  • 噪声:我们常说“噪音污染”,意思就是“噪声”干扰我们想听到的真正声音。同样,假设样本中某个主要的维度A,它能代表原始数据,是“我们真正想听到的东西”,它本身含有的“能量”(即该维度的方差,为啥?别急,后文该解释的时候就有啦~)本来应该是很大的,但由于它与其他维度有那么一些千丝万缕的相关性,受到这些个相关维度的干扰,它的能量被削弱了,我们就希望通过PCA处理后,使维度A与其他维度的相关性尽可能减弱,进而恢复维度A应有的能量,让我们“听的更清楚”!
  • 冗余:冗余也就是多余的意思,就是有它没它都一样,放着就是占地方。同样,假如样本中有些个维度,在所有的样本上变化不明显(极端情况:在所有的样本中该维度都等于同一个数),也就是说该维度上的方差接近于零,那么显然它对区分不同的样本丝毫起不到任何作用,这个维度即是冗余的,有它没它一个样,所以PCA应该去掉这些维度。

这么一分析,那么PCA的最终目的就是“降噪”和消灭这些“冗余”的维度,以使降低维度的同时保存数据原有的特征不失真。后面我们将结合例子继续讨论。

协方差矩阵——PCA实现的关键

前面我们说了,PCA的目的就是“降噪”和“去冗余”。“降噪”的目的就是使保留下来的维度间的相关性尽可能小,而“去冗余”的目的就是使保留下来的维度含有的“能量”即方差尽可能大。那首先的首先,我们得需要知道各维度间的相关性以及个维度上的方差啊!那有什么数据结构能同时表现不同维度间的相关性以及各个维度上的方差呢?自然是非协方差矩阵莫属。回忆下浅谈协方差矩阵的内容,协方差矩阵度量的是维度与维度之间的关系,而非样本与样本之间。协方差矩阵的主对角线上的元素是各个维度上的方差(即能量),其他元素是两两维度间的协方差(即相关性)。我们需要的东西,协方差矩阵都有了。

先来看“降噪”,让保留下的不同维度间的相关性尽可能小,也就是说让协方差矩阵中非对角线元素都基本为零。达到这个目的的方式自然不用说,线代中讲的很明确——矩阵对角化。而对角化后得到的矩阵,其对角线上是协方差矩阵的特征值,它还有两个身份:首先,它还是各个维度上的新方差;其次,它是各个维度本身应该拥有的能量(能量的概念伴随特征值而来)。这也就是我们为何在前面称“方差”为“能量”的原因。也许第二点可能存在疑问,但我们应该注意到这个事实,通过对角化后,剩余维度间的相关性已经减到最弱,已经不会再受“噪声”的影响了,故此时拥有的能量应该比先前大了。
看完了“降噪”,我们的“去冗余”还没完呢。对角化后的协方差矩阵,对角线上较小的新方差对应的就是那些该去掉的维度。所以我们只取那些含有较大能量(特征值)的维度,其余的就舍掉即可。PCA的本质其实就是对角化协方差矩阵。

下面就让我们跟着上面的感觉来推推公式吧。假设我们有一个样本集X,里面有N个样本,每个样本的维度为d。即:

将这些样本组织成样本矩阵的形式,即每行为一个样本,每一列为一个维度,得到样本矩阵S:S∈RN×d。我们先将样本进行中心化,即保证每个维度的均值为零,只需让矩阵的每一列减去对应的均值即可。很多算法都会先将样本中心化,以保证所有维度上的偏移都是以零为基点的。然后,对样本矩阵计算其协方差矩阵,按照《浅谈协方差矩阵》里末尾的update,我们知道,协方差矩阵可以简单的按下式计算得到:

下面,根据我们上文的推理,将协方差矩阵C对角化。注意到,这里的矩阵C是是对称矩阵,对称矩阵对角化就是找到一个正交矩阵P,满足:

具体操作是:先对C进行特征值分解,得到特征值矩阵(对角阵)即为Λ,得到特征向量矩阵并正交化即为P。显然,。假如我们取最大的前p(p<d)个特征值对应的维度,那么这个p个特征值组成了新的对角阵,对应的p个特征向量组成了新的特征向量矩阵

实际上,这个新的特征向量矩阵P1就是投影矩阵,为什么这么说呢?假设PCA降维后的样本矩阵为S1,显然,根据PCA的目的,S1中的各个维度间的协方差基本为零,也就是说,S1的协方差矩阵应该为Λ1。即满足:

Matlab中PCA实战

首先,随机产生一个10*3维的整数矩阵作为样本集,10为样本的个数,3为样本的维数。

S = fix(rand(10,3)*50);

  

计算协方差矩阵:

S = S - repmat(mean(S),10,1);
C = (S'*S)./(size(S,1)-1);
or
C = cov(S);

  

对协方差矩阵进行特征值分解:

[P,Lambda] = eig(C);

  

这里由于三个方差没有明显特别小的,所以我们都保留下来,虽然维度没有降,但观察Lambda(即PCA后的样本协方差矩阵)和C(即原始的协方差矩阵),可以发现,3个维度上的方差有所变化,但对角线之和没有变,能量重新得到了分配(矩阵的迹代表矩阵的能量),这就是“降噪”的功劳。最后我们得到降维后的样本矩阵:

S1 = S*P;

  

为了验证,我们调用matlab自带的主成分分析函数princomp

[COEFF,SCORE] = princomp(S) % COEFF表示投影矩阵,SCORE表示投影后新样本矩阵

  

对比,可以发现,SCORE和S1在不考虑维度顺序和正负的情况下是完全吻合的,之所以我们计算的S1的维度顺序不同,是因为通常都是将投影矩阵P按能量(特征值)的降序排列的,而刚才我们用eig函数得到的结果是升序。另外,在通常的应用中,我们一般是不使用matlab的princomp函数的,因为它不能真正的降维(不提供相关参数,还是我没发现?)。一般情况下,我们都是按照协方差矩阵分解后特征值所包含的能量来算的,比如取90%的能量,那就从最大的特征值开始加,一直到部分和占特征值总和的90%为止,此时部分和含有的特征值个数即为p。

经过了一番推公式加敲代码的过程,相信大家对主成分分析应该不陌生了吧,同时对协方差矩阵也有了更深层次的认识了吧,它可不只是花花枪啊。我个人觉得PCA在数学上的理论还是很完备的,想必这也是它能在多种应用中博得鳌头的原因吧。

再谈协方差矩阵之主成分分析PCA的更多相关文章

  1. 协方差矩阵与主成分分析PCA

    今天看论文,作者是用主成分分析(PCA)的方法做的.仔细学习了一下,有一篇博客写的很好,介绍的深入浅出! 协方差:http://pinkyjie.com/2010/08/31/covariance/ ...

  2. 机器学习 —— 基础整理(四)特征提取之线性方法:主成分分析PCA、独立成分分析ICA、线性判别分析LDA

    本文简单整理了以下内容: (一)维数灾难 (二)特征提取--线性方法 1. 主成分分析PCA 2. 独立成分分析ICA 3. 线性判别分析LDA (一)维数灾难(Curse of dimensiona ...

  3. 主成分分析(PCA)的一种直观理解

    源自知乎的一个答案,网上很多关于PCA的文章,不过很多都只讲到了如何理解方差的投影,却很少有讲到为什么特征向量就是投影方向.本文从形象角度谈一谈,因为没有证明,所以不会严谨,但是应该能够帮助形象理解P ...

  4. 线性判别分析(LDA), 主成分分析(PCA)及其推导【转】

    前言: 如果学习分类算法,最好从线性的入手,线性分类器最简单的就是LDA,它可以看做是简化版的SVM,如果想理解SVM这种分类器,那理解LDA就是很有必要的了. 谈到LDA,就不得不谈谈PCA,PCA ...

  5. 机器学习中的数学-线性判别分析(LDA), 主成分分析(PCA)

    转:http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/08/lda-and-pca-machine-learning.html 版权声明: 本文由L ...

  6. 机器学习中的数学(4)-线性判别分析(LDA), 主成分分析(PCA)

    版权声明: 本文由LeftNotEasy发布于http://leftnoteasy.cnblogs.com, 本文可以被全部的转载或者部分使用,但请注明出处,如果有问题,请联系wheeleast@gm ...

  7. 降维(一)----说说主成分分析(PCA)的源头

    降维(一)----说说主成分分析(PCA)的源头 降维系列: 降维(一)----说说主成分分析(PCA)的源头 降维(二)----Laplacian Eigenmaps --------------- ...

  8. 一步步教你轻松学主成分分析PCA降维算法

    一步步教你轻松学主成分分析PCA降维算法 (白宁超 2018年10月22日10:14:18) 摘要:主成分分析(英语:Principal components analysis,PCA)是一种分析.简 ...

  9. 05-03 主成分分析(PCA)

    目录 主成分分析(PCA) 一.维数灾难和降维 二.主成分分析学习目标 三.主成分分析详解 3.1 主成分分析两个条件 3.2 基于最近重构性推导PCA 3.2.1 主成分分析目标函数 3.2.2 主 ...

随机推荐

  1. 解决android TextView多行文本(超过3行)使用ellipsize属性无效问题

    布局文件中的TextView属性 <TextView android:id="@+id/businesscardsingle_content_abstract" androi ...

  2. sql2012管理

    一.还原完整备份的语法如下: RESTORE DATABASE { database_name | @database_name_var }                  --数据库名 [ FRO ...

  3. SSD的来由与优势

           SSD,对于很多人来说,它现在已不再是个很陌生的名词,有些网友谐趣的把它称作“湿湿的”,这里既有谐音的意味,也有称赞SSD意思.虽然大家对SSD已不算陌生,但恐怕对SSD的历史也所知不多 ...

  4. 让 QtWebkit 支持跨域CROS - nowboy的CSDN博客 - 博客频道 - CSDN.NET

    让 QtWebkit 支持跨域CROS - nowboy的CSDN博客 - 博客频道 - CSDN.NET 让 QtWebkit 支持跨域CROS 2013-05-23 22:05 450人阅读 评论 ...

  5. 我的MYSQL学习心得 备份和恢复(详细)

    备份 逻辑备份方法 使用MYSQLDUMP命令备份 MYSQLDUMP是MYSQL提供的一个非常有用的数据库备份工具.mysqldump命令执行时将数据库备份成一个文本文件, 该文件中实际上包含了多个 ...

  6. Cocos2d-X 动作展示《一》

    因为Cocos2d-X中的动作较多,我将全部的动作制作成了一个滚动视图.每一个滚动视图上都有动作名,单击滚动视图就能够展示对应的动作 程序效果图: 使用滚动视图实现动作切换 动作展示 程序代码: 首先 ...

  7. Webform之FileUpload(上传按钮控件)简单介绍及下载、上传文件时图片预览

    1.FileUpload上传控件:(原文:http://www.cnblogs.com/hide0511/archive/2006/09/24/513201.html) FileUpload 控件显示 ...

  8. iOS实践02

    第二天了,上了一天课,软件测试.数据挖掘.概率论,晚上了才有时间捣鼓捣鼓程序. 今天只是简单的做了一点.觉得自己思考的写不出来,只能简单的写一个过程,不像第一次写这个,少了很多思考的. 1.完善tab ...

  9. [Jobdu] 题目1385:重建二叉树

    根据一棵二叉树的先序遍历和后序遍历,重建二叉树 例子: 我们先来看一个例子,二叉树如上图,则先序遍历为:1 2 4 7 3 5 6 8,中序遍历为:4 7 2 1 5 3 8 6 思路: 先序遍历中的 ...

  10. ADO接口

    转自百度文库 ADO中最重要的对象有三个:Connection.Recordset和Command,分别表示连接对象.记录集对象和命令对象. 三个对象对应的智能指针分别是:_ConnectionPtr ...