奇异值分解 SVD 的数学解释

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种矩阵分解（Matrix Decomposition）的方法。除此之外，矩阵分解还有很多方法，例如特征分解（Eigendecomposition）、LU分解（LU decomposition）、QR分解（QR decomposition）和极分解（Polar decomposition）等。这篇文章主要说下奇异值分解，这个方法在机器学习的一些算法里占有重要地位。

相关概念
参考自维基百科。

正交矩阵：若一个方阵其行与列皆为正交的单位向量，则该矩阵为正交矩阵，且该矩阵的转置和其逆相等。两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0
正定矩阵：如果对于所有的非零实系数向量 zz，都有 zTAz>0zTAz>0，则称矩阵 AA 是正定的。正定矩阵的行列式必然大于 0， 所有特征值也必然 > 0。相对应的，半正定矩阵的行列式必然 ≥ 0。
定义
下面引用 SVD 在维基百科中的定义。

In linear algebra, the singular value decomposition (SVD) is a factorization of a real or complex matrix. It is the generalization of the eigendecomposition of a positive semidefinite normal matrix (for example, a symmetric matrix with positive eigenvalues) to any m×nm×n matrix via an extension of polar decomposition.

也就是说 SVD 是线代中对于实数矩阵和复数矩阵的分解，将特征分解从 半正定矩阵 推广到任意 m×nm×n 矩阵。

注意：本篇文章内如未作说明矩阵均指实数矩阵。

假设有 m×nm×n 的矩阵 AA ，那么 SVD 就是要找到如下式的这么一个分解，将 AA 分解为 3 个矩阵的乘积：

Am×n=Um×mΣm×nVTn×n
Am×n=Um×mΣm×nVn×nT
其中，UU 和 VV 都是正交矩阵 （Orthogonal Matrix），在复数域内的话就是酉矩阵（Unitary Matrix），即

UTU=Em×m
UTU=Em×m
VTV=En×n
VTV=En×n
换句话说，就是说 UU 的转置等于 UU 的逆，VV 的转置等于 VV 的逆：

UT=U−1
UT=U−1
VT=V−1
VT=V−1
而 ΣΣ 就是一个非负实对角矩阵。

那么 UU 和 VV 以及 ΣΣ 是如何构成的呢？

求解
UU 和 VV 的列分别叫做 AA 的 左奇异向量（left-singular vectors）和 右奇异向量（right-singular vectors），ΣΣ 的对角线上的值叫做 AA 的奇异值（singular values）。

其实整个求解 SVD 的过程就是求解这 3 个矩阵的过程，而求解这 3 个矩阵的过程就是求解特征值和特征向量的过程，问题就在于 求谁的特征值和特征向量。

UU 的列由 AATAAT 的单位化过的特征向量构成
VV 的列由 ATAATA 的单位化过的特征向量构成
ΣΣ 的对角元素来源于 AATAAT 或 ATAATA 的特征值的平方根，并且是按从大到小的顺序排列的
知道了这些，那么求解 SVD 的步骤就显而易见了：

求 AATAAT 的特征值和特征向量，用单位化的特征向量构成 UU
求 ATAATA 的特征值和特征向量，用单位化的特征向量构成 VV
将 AATAAT 或者 ATAATA 的特征值求平方根，然后构成 ΣΣ
举例
假设

A=⎛⎝⎜⎜⎜21004300⎞⎠⎟⎟⎟
A=(24130000)
那么可以计算得到

AAT=⎛⎝⎜⎜⎜20140014100000000000⎞⎠⎟⎟⎟
AAT=(20140014100000000000)
接下来就是求这个矩阵的特征值和特征向量了

AATx=λx
AATx=λx
(AAT−λE)x=0
(AAT−λE)x=0
要想该方程组有非零解（即非零特征值），那么系数矩阵 AAT−λEAAT−λE 的行列式必须为 0

∣∣∣∣∣∣20−λ14001410−λ0000−λ0000−λ∣∣∣∣∣∣=0
|20−λ14001410−λ0000−λ0000−λ|=0
求解这个行列式我就不再赘述了，这个直接使用行列式展开定理就可以了，可以得到 λ1≈29.86606875，λ2≈0.13393125，λ3=λ4=0λ1≈29.86606875，λ2≈0.13393125，λ3=λ4=0，有 4 个特征值，因为特征多项式 |AAT−λE||AAT−λE| 是一个 4 次多项式。对应的单位化过的特征向量为

⎛⎝⎜⎜⎜0.817415560.5760484400−0.576048440.817415560000100001⎞⎠⎟⎟⎟
(0.81741556−0.57604844000.576048440.817415560000100001)
这就是矩阵 UU 了。

同样的过程求解 ATAATA 的特征值和特征向量，求得 λ1≈0.13393125，λ2≈29.86606875λ1≈0.13393125，λ2≈29.86606875，将特征值降序排列后对应的单位化过的特征向量为

(0.404553580.9145143−0.91451430.40455358)
(0.40455358−0.91451430.91451430.40455358)
这就是矩阵 VV 了。

而矩阵 ΣΣ 根据上面说的为特征值的平方根构成的对角矩阵

⎛⎝⎜⎜⎜5.464985700000.3659661900⎞⎠⎟⎟⎟
(5.4649857000.365966190000)
到此，SVD 分解就结束了，原来的矩阵 AA 就被分解成了 3 个矩阵的乘积。

A4×2=U4×4Σ4×2VT2×2
A4×2=U4×4Σ4×2V2×2T
⎛⎝⎜⎜⎜21004300⎞⎠⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜0.817415560.5760484400−0.576048440.817415560000100001⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜5.464985700000.3659661900⎞⎠⎟⎟⎟(0.404553580.9145143−0.91451430.40455358)T
(24130000)=(0.81741556−0.57604844000.576048440.817415560000100001)(5.4649857000.365966190000)(0.40455358−0.91451430.91451430.40455358)T
Numpy 实现
Python 中可以使用 numpy 包的 linalg.svd() 来求解 SVD。

import numpy as np

A = np.array([[2, 4], [1, 3], [0, 0], [0, 0]])
print(np.linalg.svd(A))
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2
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4
输出

(array([[-0.81741556, -0.57604844, 0. , 0. ],
[-0.57604844, 0.81741556, 0. , 0. ],
[ 0. , 0. , 1. , 0. ],
[ 0. , 0. , 0. , 1. ]]),
array([ 5.4649857 , 0.36596619]),
array([[-0.40455358, -0.9145143 ],
[-0.9145143 , 0.40455358]]))
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7
END
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作者：secondsilverman
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u010099080/article/details/68060274
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