Codeforces 1091D New Year and the Permutation Concatenation 找规律,数学 B

Codeforces 1091D New Year and the Permutation Concatenation

　　　https://codeforces.com/contest/1091/problem/D

题目：

Let n be an integer. Consider all permutations on integers 1 to n in lexicographic order, and concatenate them into one big sequence p. For example, if n=3, then p=[1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1]. The length of this sequence will be n⋅n!n⋅n!.

Let 1≤i≤j≤n⋅n!be a pair of indices. We call the sequence (pi,pi+1,…,pj−1,pj) a subarray of pp. Its length is defined as the number of its elements, i.e., j−i+1. Its sum is the sum of all its elements, i.e., ∑jk=ipk.

You are given n. Find the number of subarrays of p of length n having sum n(n+1)/2. Since this number may be large, output it modulo 998244353 (a prime number).

Input

The only line contains one integer n (1≤n≤106), as described in the problem statement.

Output

Output a single integer — the number of subarrays of length nn having sum n(n+1)/2, modulo 998244353.

Examples

Input1

3

Output1

9

Input2

4

Output2

56

Input3

10

Output3

30052700

Note

　　

In the first sample, there are 16 subarrays of length 3. In order of appearance, they are:

[1,2,3], [2,3,1], [3,1,3], [1,3,2], [3,2,2] [2,2,1], [2,1,3], [1,3,2], [3,2,3], [2,3,1], [3,1,3], [1,3,1]， [3,1,2], [1,2,3], [2,3,2], [3,2,1].

Their sums are 6, 6, 7, 6, 7, 5, 6, 6, 8, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 6. As n(n+1)/2=6, the answer is 9.

分析：

　　这道题题意挺明确的，输入一个n，然后把长度为n，初始值为1的连续递增的数列进行全排列然后排在一块，再找其中连续的n个数，要求这n个数必须是1-n。

　　题意就是这样那么就分析：

　　暴力，呵呵呵呵，祝你好运

　　看到只输入一个数n，第一反应就是oeis

　　

　　无果，遂自寻规律

　　此处应该有规律

~10是
         

　　当然这个在一开始做的时候是绝对绝对不知道的

　　于是手推

　　推大概n=5的时候395还没有太大的问题，分成第一个数字是12345可以分成五份，然后用全排列打个小程序，看看规律

　　首先一个很显然的事实：

　　当全排列第一个数字是1和全排列第一个数字是2的凑在一块，是肯定无法实现1-n的排列的

　　所以我们可以把整体分为n份，此为第一个结论

　　然后分析每一块

　　先以n=3开始

　　全排列是

　　123132

　　显然123 132 是两个，也就是组成这个大数列P的是肯定必须都满足条件

　　然后就是231，此为第一个全排列的第二个数开始，这是重中之重

　　第二个全排列的第二个数后面没有后继的数，遂作罢

　　当n=4时，

　　1234 1243 1324 1342 1423 1432

　　首先显然的是6个

　　其次就是每个全排列的第二个数和后面的n-1个数组成的都是成立的

　　这些是5个

　　然后每个全排列的第三个数开始的长度为n的数列成立的是3个

　　这时候可能会有一丝丝思路，但不明确

　　当n=5的时候

　　写出来有点小多啊。。。。

　　那就用程序跑

　　截取我输出的结果

　　

　　首先的24个是跑不了

　　然后接下来的23也跑不了

　　再往下看，，就有些神奇了

　　此时应该关注每个全排列的第三个数

　　第三个数和第四第五个数，用竖着看的方式，会发现当前两个数固定，就是后面在进行全排列！（废话这是全排列的性质）

　　那么我们可以分析出来这24个中，5个成立的，1个不成立的，5个成立的，1个不成立的

　　咦居然有周期

　　试试第四个数

　　1,1,1,1,1

　　也就是成立和不成立交叉着

　　那么和第四个数相匹配，那是什么？

　　23+1 = 24

　　5+1 = 6

　　1+1 = 2

　　这不就是阶乘吗！

　　然后再用心钻研那么一点点

　　((n-1)!+(n-1)!*((n-2)!-1)/(n-2)!+(n-1)!*((n-3)!-1)/(n-3)!···)*n

　　讲真这里还不如自己手写一下然后看代码

　　对了除法取模要用逆元

　　

　　这道题你要说不会做以后遇到怎么办，我只能说多练数学题，培养对数学的感觉，就是这样

　AC代码

 #include <stdio.h>
 #include <math.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <string>
 #include <time.h>
 #include <queue>
 #include <string.h>
 #define sf scanf
 #define pf printf
 #define lf double
 #define ll long long
 #define p123 printf("123\n");
 #define pn printf("\n");
 #define pk printf(" ");
 #define p(n) printf("%d",n);
 #define pln(n) printf("%d\n",n);
 #define s(n) scanf("%d",&n);
 #define ss(n) scanf("%s",n);
 #define ps(n) printf("%s",n);
 #define sld(n) scanf("%lld",&n);
 #define pld(n) printf("%lld",n);
 #define slf(n) scanf("%lf",&n);
 #define plf(n) printf("%lf",n);
 #define sc(n) scanf("%c",&n);
 #define pc(n) printf("%c",n);
 #define gc getchar();
 #define re(n,a) memset(n,a,sizeof(n));
 #define len(a) strlen(a)
 #define LL long long
 #define eps 1e-6
 using namespace std;
 const ll mod = ;
 ll pow_quick(ll a,ll b){
     ll r = ,base = a;
     while(b){
         if(b & ){
             r *= base;
             r %= mod;
         }
         base *= base;
         base %= mod;
         b >>= ;
     }
     return r;
 }

 ll a[];
 int main() {
     ll n;
     sld(n)
     if(n == ){
         p() pn return ;
     }
     a[] = 1ll;
     for(ll i = ; i <= n; i ++){
         a[i] = a[i-]*i;
         a[i] %= mod;
     }
     ll sum = a[n-];
     //pld(sum) pn
     for(ll i = ; i <= n; i ++){
         ll x = (a[n-]*pow_quick(a[i-],mod-))%mod;
         x *= a[i-]-;
         x %=mod;
         sum += x;
         sum %= mod;
     }
     pld((sum*(n))%mod) pn
     return ;
 }

　　代码链接：https://codeforces.com/contest/1091/submission/47758982