B树与B+详解

承接上篇SQLite采用B树结构使得SQLite内存占用资源较少，本篇将讲述B树的具体操作（建树，插入，删除等操作）。在看博客时，建议拿支笔和纸，一点一点操作，毕竟知识是自己的，自己也要消化的。本篇通读下来，大约需要25-35分钟，关键掌握B树的具体操作思想，欢迎大家指正。

一、前言

动态查找树主要包括：二叉查找树，平衡二叉树，红黑树，B树，B-树，查找的时间复杂度就为O(log₂N)，通过对数就可以发现降低树的深度就会提高查找效率。在大数据存储过程，大量的数据会存储到外存磁盘，外存磁盘中读取与写入某数据的时候，首先定位到磁盘中的某一块，这就有个问题：如何才能有效的查找磁盘中的数据呢，这就需要一种高效的外存数据结构，也就引出了下面的课题。

B树为了存储设备或者磁盘而设计的一种平衡查找树，与红黑树类似（拓展会讲）。

拓展：

B树与红黑树的

不同在于：B树的节点可以有很多子女，从几个到几万个不等，

相同：一颗含有n个节点的B树高度和红黑树是一样的，都是O（lgn）。

二、定义

1.B树

（1）一棵m阶的B树，特性如下：

利用书面的定义（参考书籍-《数据结构》）

1）树中的每个结点最多含有m个孩子；

2）除了根结点和叶子结点，其他结点至少有[ceil(m / 2)（代表是取上限的函数）]个孩子；

3）若根结点不是叶子结点时，则至少有两个孩子（除了没有孩子的根结点）

4）所有的叶子结点都出现在同一层中，叶子结点不包含任何关键字信息；

（2）B树的类型与节点定义

#define m  1024
struct BTNode;
typedef struct BTNode *PBTNode;
struct BTNode {
    int keyNum;//实际关键字个数，keyNum < m
    PBTNode parent;//指向父亲节点
    PBTNode *ptr;
    keyType *key;//关键字向量

}

typedef struct BTNode *BTree;
typedef BTree *PBTree;

2.B+树

B+树可以说是B树的一种变形，它把数据都存储在叶结点，而内部结点只存关键字和孩子指针，因此简化了内部结点的分支因子，B+树遍历也更高效，其中B+树只需所有叶子节点串成链表这样就可以从头到尾遍历，其中内部结点是并不存储信息，而是存储叶子结点的最小值作为索引，下面将讲述到。

定义：参考数据《数据结构》与百度百科

B+树用于数据库和文件系统中，NTFS等都使用B+树作为数据索引，

1）有n棵子树的结点含有n个关键字，每个关键字都不会保存数据，只会用来索引，并且所有数据都会保存在叶子结点；

2）所有的叶子结点包含所有关键字信息以及指向关键字记录的指针，关键字自小到大顺序连接；

参考下图（来自百度百科）

三、问答

1.为什么说B+树比B树更适合做操作系统的数据库索引和文件索引？

（1）B+树的磁盘读写的代价更低

B+树内部结点没有指向关键字具体信息的指针，这样内部结点相对B树更小。

（2）B+树的查询更加的稳定

因为非终端结点并不是最终指向文件内容的结点，仅仅是作为叶子结点中关键字的索引。这样所有的关键字的查找都会走一条从根结点到叶子结点的路径。所有的关键字查询长度都是相同的，查询效率相当。

四、B树与B+树操作（建议大家找张纸，跟着一起，毕竟知识是自己的）

1.B树

1.1 B树的插入

B树的插入是指插入一条记录，如果B树已存在需要插入的键值时，用新的值替换旧的值；若B树不存在这个值时，则是在叶子结点进行插入操作。

对高度为h的m阶B树，新结点一般插第h层。通过检索可以确定关键码应插入的位置，

1）若该结点中关键码个数小于等于m-1，则直接插入就可

2）若该结点中关键码个数等于m-1，则将引起结点的分裂，以中间的关键码为界将结点一分为二，产生了一个新的结点，并将中间关键码插入到父结点中；

重复上述过程，最坏情况一直分裂到根结点， 建立一个新的根结点，整个B树就增加一层。

举例如下：

》〉》〉下面以5阶B树举例，根据B树的定义，结点最多有4个值，最少有2个值。

a）在空树插入39，此时就有一个值，根结点也是叶子结点

b）继续插入22，97和41值，根结点变为4个值，符合要求

c）插入53值

插入之后发现超过结点最多只有4个值，所以要以中间值进行分开，分开后当前结点要指向父结点，分裂之后，发现符合要求

d）插入13，21，40，同样造成分裂，

e）紧接着插入30，27，33，36，24，34，35

f）将26再次插入进去

发现有5个值，超过B树的定义，需要以27为中心分裂，27进军父结点

发现父结点也超过4个，再次分裂

g）最后插入17，28，29，31，32的记录

1.2 B树的删除

B树删除：首先要查找该值是否在B树中存在，如果存在，判断该元素是否存在左右孩子结点，如果有，则上移孩子结点中的相近结点（左孩子最右边的结点或者有孩子最左边的结点）到父结点中，然后根据移动之后的情况；如果没有，进行直接删除；如果不存在对应的值，则删除失败。

1）如果当前要删除的值位于非叶子结点，则用后继值覆盖要删除的值，再用后继值所在的分支删除该后继值。（该后继值必须位于叶子结点上）

2）该结点值个数不小于Math.ceil(m/2)-1（取上线函数），结束删除操作，否则下一步

3）如果兄弟结点值个数大于Math.ceil(m/2)-1，则父结点中下移到该结点，兄弟的一个值上移，删除操作结束。

将父结点的key下移与当前的结点和他的兄弟姐妹结点key合并，形成一个新的结点，

有些结点可能有左兄弟，也有右兄弟，我们可以任意选择一个兄弟结点即可。

》〉》〉下面以5阶B树举例进行删除，根据B树的定义，结点最多有4个值，最少有2个值。

a）原始状态

b）在上面的B树删除21，删除之后结点个数大于等于2，所以删除结束

c）删除27之后为

27处于非叶子结点，用27的后继替换。也即是28替换27，然后在右孩子结点删除28，如上。

发现删除，当前叶子结点的记录的个数已经小于2，而兄弟结点中有3个记录我们可以从兄弟结点中借取一个key，父结点中的28就下移，兄弟结点中的26就上移,删除结束，结果如下

d）删除32

删除之后发现，当前结点中有key，而兄弟都有两个key，所以只能让父结点的30下移到和孩子一起合并，成为新的结点，并指向父结点，经拆封发现符合要求

2.B+树

2.1 B+树的插入

B+树插入：

1）若为空树，直接插入，此时也就是根结点

2）对于叶子结点：根据key找叶子结点，对叶子结点进行插入操作。插入后，如果当前结点key的个数不大于m-1，则插入就结束。反之将这个叶子结点分成左右两个叶子结点进行操作，左叶子结点包含了前m/2个记录，右结点包含剩下的记录key，将第m/2+1个记录的key进位到父结点中（父结点必须是索引类型结点），进位到父结点中的key左孩子指针向左结点,右孩子指针向右结点。

3）针对索引结点：如果当前结点key的个数小于等于m-1，插入结束。反之将这个索引类型结点分成两个索引结点，左索引结点包含前(m-1)/2个数据，右结点包含m-(m-1)/2个数据，然后将第m/2个key父结点中，进位到父结点的key左孩子指向左结点, 父结点的key右孩子指向右结点。

》〉》〉下面以5阶B+树举例进行插入，根据B+树的定义，结点最多有4个值，最少有2个值。

a）空树插入5，8，10，15

b）插入16

超过了最大值4，所以分裂，以中间为准

c）插入17，18

结点的关键字等于5，大于4，进行分裂。

符合条件，插入完成。

2.2 B+树删除

》〉》〉下面以5阶B+树举例进行删除，根据B+树的定义，结点最多有4个值，最少有2个值。

下面是初始状态

a）删除22，删除后个数为2，删除结束

b）删除15，结果如下：

删除之后，只有一个值，而兄弟有三个值，所以从兄弟结点借一个关键字，并更新索引结点

大家可以考虑删除7.我在这里直接给出结果

以上就是B树和B+树的操作，建议大家拿支笔操作一下，毕竟提高能力是没有错的。

五、代码实现

//测试程序1
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include "BTree.h"
using namespace std;  

int main()
{
    char iKey[] = {'C','N','G','A','H','E','K','Q','M','F','W','L','T','Z','D','P','R','X','Y','S'};
    char dKey[] = {'C','N','G','A','H','E','K','Q','M','F','W','L','T','Z','D','P','R','X','Y','S'};
    int iSize = sizeof(iKey)/sizeof(char);
    int dSize = sizeof(dKey)/sizeof(char);  

    int i;
    BTree<char> btree(, NULL);
    cout<<"----------插入测试----------"<<endl;
    for(i = ; i < iSize; i++) //插入测试
    {
        cout<<"插入"<<iKey[i]<<"以后"<<endl;
        btree.Insert(iKey[i]);
        btree.PrintBTree();
    }
    cout<<"----------删除测试----------"<<endl;
    for(i = ; i < dSize; i++) //删除测试
    {
        cout<<"删除"<<dKey[i]<<"以后"<<endl;
        btree.Delete(dKey[i]);
        btree.PrintBTree();
    }
    return ;  
}

//测试程序2
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include "BTree.h"
using namespace std;  

int main()
{
    srand((int)time());
    const int iSize = ;  //插入次数
    const int dSize = ;  //删除次数
    const int num = ;       //测试组数
    int *iKey = new int[iSize];
    int *dKey = new int[dSize];
    int i, j;
    for(j = ; j < num; j++)  //测试组数，每次测试都是插入iSize次，删除dSize次
    {
        for(i = ; i < iSize; i++)  //插入数据生成
            iKey[i] = rand()%iSize;
        for(i = ; i < dSize; i++)
            dKey[i] = rand()%iSize; //删除数据生成  

        int m = rand()% + ;  //随机生成3阶到402阶
        BTree<int> btree(m, NULL);
        cout<<"----------第"<<j<<"组插入测试----------"<<endl;
        for(i = ; i < iSize; i++) //插入测试
            btree.Insert(iKey[i]);
        cout<<"第"<<j<<"组插入测试成功，为"<<m<<"阶B树"<<endl;
        cout<<"----------第"<<j<<"组删除测试----------"<<endl;
        for(i = ; i < dSize; i++) //删除测试
            btree.Delete(dKey[i]);
        cout<<"第"<<j<<"组删除测试成功，为"<<m<<"阶B树"<<endl<<endl;
    }
    delete [] iKey;
    delete [] dKey;
    return ;
}  

 //BTree.h文件，由于使用了模板所以没法将声明与实现分离
 #pragma once
 #include <queue>
 using namespace std;  

 //B树的结点定义
 template <typename T>
 struct BTreeNode
 {
     int num;               //关键字个数
     T *K;                  //指向关键字数组
     BTreeNode<T> *parent;  //指向父亲结点
     BTreeNode<T> **A;      //指向孩子结点数组的指针
     BTreeNode(int n, int m, BTreeNode<T>  *p)
     {
         num = n;
         parent = p;
         K = new T[m+];           //最多有m-1个关键字，K0不用，Km用来当哨兵
         A = new BTreeNode *[m+]; //最多有m个分支，Am用来当哨兵
         for(int i = ; i <= m; i++)
             A[i] = NULL;
     }
     ~BTreeNode()
     {
         delete [] K; K = NULL;
         delete [] A; A = NULL;
     }
 };  

 //搜索结果的三元组定义
 template <typename T>
 struct Triple
 {
     BTreeNode<T> * node;  //关键字所在结点
     int i;                //关键字下标位置
     bool tag;             //搜索是否成功
     Triple(BTreeNode<T> *nd, int pos, bool t)
     { node = nd; i = pos; tag = t;}
 };  

 //B树定义
 template <typename T>
 class BTree
 {
 public:
     BTree();
     BTree(int m , BTreeNode<T> * root);
     ~BTree();
     Triple<T> Search(const T& x); //搜索核心函数
     bool Insert(const T& x);      //插入核心函数
     bool Delete(const T& x);      //删除核心函数
     void InsertKey(BTreeNode<T> *p, T k, BTreeNode<T> *a, int i);    //插入一个二元组(K,A)
     void SpliteNode(BTreeNode<T> *p, T *k, BTreeNode<T> **a, int i); //分裂结点
     void RightAdjust(BTreeNode<T> *p, BTreeNode<T> *q, int i);  //从右子女取关键字
     void LeftAdjust(BTreeNode<T> *p, BTreeNode<T> *q, int i);   //从左子女取关键字
     void LeftCompress(BTreeNode<T> *p, int i);  //往左移动1个位置
     void RightCompress(BTreeNode<T> *p, int i); //往右移动1个位置
     void MergeNode(BTreeNode<T> *p, BTreeNode<T> *q, BTreeNode<T> *pR, int i); //合并两个结点
     void PrintBTree(); //打印B树
 private:
     int m_m;                //路数，即最大子树棵数
     BTreeNode<T> *m_pRoot;  //B树的根结点
 };
 template<typename T>
 BTree<T>::BTree() //默认构造函数
 {
     m_m = ;         //默认是5阶
     m_pRoot = NULL;  //根结点初始为空
 }
 template<typename T>
 BTree<T>::BTree(int m , BTreeNode<T> * root)
 {
     m_m = m;
     m_pRoot = root;
 }
 template<typename T>
 BTree<T>::~BTree() //释放所有的空间
 {
     if(m_pRoot != NULL)
     {
         queue<BTreeNode<T> *> nodeQueue; //利用队列，按层次遍历B树
         nodeQueue.push(m_pRoot);         //放入根结点
         while(nodeQueue.size())
         {
             BTreeNode<T> * p = nodeQueue.front();
             if(p->A[] != NULL) //不是叶结点，需考虑子女结点的删除
             {
                 for(int i = ; i <= p->num; i++)
                     nodeQueue.push(p->A[i]);
             }
             nodeQueue.pop();
             delete p;
             p = NULL;
         }
     }
 }
 //函数功能： 查找关键字x是否在B树中
 //函数参数： x为查找的关键字
 //返回值：   一个Triple对象(node, i, tag)，tag=true表示x等于结点r中的Ki；tag=false表示x不在树中，r是最后一个被搜索的结点
 template <typename T>
 Triple<T> BTree<T>::Search(const T &x)
 {
     int i = ;  //下标
     BTreeNode<T> *p = m_pRoot, *q = NULL;  //用来保存当前结点和它的父结点  

     while(p != NULL) //一直检查到叶结点
     {
         //n, A0,(K1, A1), (K2, A2), ... (Kn, An)
         //确定i，使得Ki <= x < Ki+1，K[0]不放数据
         //下面这条语句当然也可以写成 for(i = 1; i <= n && x >= p->K[i]; i++)
         //但是为了与Ki <= x < Ki+1这个关系式统一，采用了下述写法，观察后面的程序，发现这样写还避免了下标溢出的判断
         int n = p->num;   //当前结点的关键字个数
         for(i = ; i < n && x >= p->K[i+]; i++)  //可以改进一下，用二分查找
             ;
         if(x == p->K[i]) //是否已找到，不用判断下标，i最大为n
             return Triple<T>(p, i, true);
         q = p;
         p = p->A[i];     //搜索下一层，Ki与Ki+1中间的指针
     }
     return Triple<T>(q, i, false); //x不在树中，找到了可以插入的结点位置
 }
 //函数功能： 插入关键字x到B树中
 //函数参数： x为插入的关键字
 //返回值：   插入是否成功
 template <typename T>
 bool BTree<T>::Insert(const T &x)
 {
     if(m_pRoot == NULL) //空树
     {
         m_pRoot = new BTreeNode<T>(, m_m, NULL);  //新的根含有1个关键字
         m_pRoot->K[] = x;    //根的关键字
         return true;
     }  

     Triple<T> triple = Search(x);     //检查是否已存在
     if(triple.tag == true) //x已在B树中
         return false;  

     BTreeNode<T> *p = triple.node, *q; //结点地址
     //构造插入的两元组(k,a) 其中k为关键字，a为右邻指针
     BTreeNode<T> *a = NULL;
     T k  = x;
     int i = triple.i;   

     while() //插入过程
     {
         if(p->num < m_m-) //关键字个数未到达上限，可以直接插入
         {
             InsertKey(p, k, a, i); //(k, a)插入到位置(Ki, Ai)后面
             return true;
         }
         SpliteNode(p, &k, &a, i); //将p结点分裂成两个结点，一个结点仍为p，另外一个变为两元组(k,a)，以便插入到父结点
         if(p->parent != NULL)     //父结点不为空
         {
             q = p->parent; //获得父结点
             for(i = ; i < q->num && x >= q->K[i+]; i++) //确定新的插入位置i
                 ;
             p = q;   //进入上一层
         }
         else
         {
             //已经到达了根，需要新建一个结点
             m_pRoot = new BTreeNode<T>(, m_m, NULL);  //新的根含有1个关键字
             m_pRoot->K[] = k; //新根的关键字
             m_pRoot->A[] = p; //左指针
             m_pRoot->A[] = a; //右指针
             p->parent = a->parent = m_pRoot; //更新左右指针的父结点
             return true;
         }
     }
 }
 //函数功能： 插入关键字x到B树中，这是实际的插入函数
 //函数参数： p指向插入关键字所在结点，k为插入的关键字，a为关键字的右邻，i为插入位置
 //返回值：   无
 template <typename T>
 void BTree<T>::InsertKey(BTreeNode<T> *p, T k, BTreeNode<T> *a, int i)
 {
     for(int j = p->num; j > i; j--) //将K[i],A[i]以后的元素都往后移一个位置
     {
         p->K[j + ] = p->K[j];
         p->A[j + ] = p->A[j];
     }
     p->num++;        //结点的关键字个数加1
     p->K[i + ] = k; //插入两元组在K[i],A[i]以后
     p->A[i + ] = a;
     if(a != NULL)    //若为为空，需更新父结点指针
         a->parent = p;
 }
 //函数功能： 分裂结点
 //函数参数： p指向要分裂的结点，k指向插入的关键字，a指向关键字的右邻，i为插入位置
 //返回值：   无
 template <typename T>
 void BTree<T>::SpliteNode(BTreeNode<T> *p, T *k, BTreeNode<T> **a, int i)
 {
     InsertKey(p, *k, *a, i); //先插了再说
     int mid = (m_m + )/;   //[ceil(m/2)]
     int size = (m_m & )? mid : mid + ; //奇偶性决定了分裂时拷贝的关键字个数  

     BTreeNode<T> *q = new BTreeNode<T>(, m_m, p->parent); //新结点
     //将p的K[mid+1...m]和A[mid..m]移到q的K[1...mid-1]和A[0...mid-1]
     q->A[] = p->A[mid];
     for(int j = ; j < size; j++)
     {
         q->K[j] = p->K[mid + j];
         q->A[j] = p->A[mid + j];
     }
     //修改q中的子女的父结点为q，这里很重要，因为这些子女原来的父结点为p
     if(q->A[] != NULL)
     {
         for(int j = ; j < size; j++)
             q->A[j]->parent = q;
     }
     //更新结点的关键字个数
     q->num = m_m - mid;  //结点q：m –[ceil(m/2)], A[ceil(m/2)],(K [ceil(m/2)]+1, A [ceil(m/2)]+1), …, (Km, Am)
     p->num = mid - ;    //结点p：[ceil(m/2)]–1, A0, (K1, A1), (K2,A2), …, (K[ceil(m/2)]–1, A[ceil(m/2)]–1)
     //构建新的两元组(k,a)
     *k = p->K[mid];
     *a = q;
 }  

 //函数功能： 删除关键字x
 //函数参数： x为要删除的关键字
 //返回值：   删除是否成功
 template <typename T>
 bool BTree<T>::Delete(const T& x)
 {
     Triple<T> triple = Search(x); //检查是否已存在
     if(triple.tag == false)       //x不在B树中
         return false;
     BTreeNode<T> *p = triple.node, *q; //要删除的关键字所在结点
     int i = triple.i;  

     if(p->A[i] != NULL) //非叶结点
     {
         q = p->A[i];    //找右子树的最小关键码
         while(q->A[] != NULL)
             q = q->A[];
         p->K[i] = q->K[];   //用叶结点替换
         LeftCompress(q, );  //删除K[1]，其实只是用后面的结点覆盖一下即可
         p = q;               //转换为叶结点的删除
     }
     else
         LeftCompress(p, i);  //叶结点直接删除，其实只是用后面的结点覆盖一下即可  

     int mid = (m_m + ) / ; //求[ceil(m/2)]
     //下面开始调整
     while()
     {
         if(p == m_pRoot || p->num >= mid-) //情形1和情形2
             break;
         else
         {
             q = p->parent; //父亲结点
             for(i = ; i <= q->num && q->A[i] != p; i++) //找到p在父结点中的位置Ai
                 ;
             if(i == )     //p为最左指针
                 RightAdjust(p, q, i);  //结点p、父结点q、p的右兄弟结点进行旋转调整
             else
                 LeftAdjust(p, q, i);   //结点p、父结点q、p的左兄弟结点进行旋转调整
             p = q;         //向上调整
         }
     }
     if(m_pRoot->num == ) //一颗空树
     {
         p = m_pRoot->A[];
         delete m_pRoot;
         m_pRoot = p;
         if(m_pRoot != NULL)
             m_pRoot->parent = NULL;
     }
     return true;
 }
 //函数功能： 通过右子女调整，如果右子女有多余结点，从右子女取一个关键字
 //函数参数： p指向被删除的关键字所在结点，q指向父结点，i为p在q中的位置
 //返回值：   无
 template <typename T>
 void BTree<T>::RightAdjust(BTreeNode<T> *p, BTreeNode<T> *q, int i)
 {
     BTreeNode<T> *pR = q->A[i+];  //p的右兄弟
     if(pR->num >= (m_m+)/)       //情形3，兄弟有足够多的关键字，即至少还有[ceil(m/2)]
     {
         //调整p
         p->num++;                  //p的关键字个数加1
         p->K[p->num] = q->K[i+];  //父结点相应关键码下移
         p->A[p->num] = pR->A[];   //右兄弟最左指针移到p的最右
         if(p->A[p->num] != NULL)
             p->A[p->num]->parent = p;  //修改父结点，原来是pR
         //调整父结点
         q->K[i+] = pR->K[];      //右兄弟的最小关键码上移到父结点
         //调整右兄弟
         pR->A[] = pR->A[];       //右兄弟剩余关键字与指针前移
         LeftCompress(pR, );       //覆盖K[1],A[1]，关键字个数减1，LeftCompress中自动会减1
     }
     else
         MergeNode(p, q, pR, i + );//情形4 (...p Ki+1 pR...)
 }
 //函数功能： 通过左子女调整，如果左子女有多余结点，从左子女取一个关键字
 //函数参数： p指向被删除的关键字所在结点，q指向父结点，i为p在q中的位置
 //返回值：   无
 template <typename T>
 void BTree<T>::LeftAdjust(BTreeNode<T> *p, BTreeNode<T> *q, int i)
 {
     BTreeNode<T> *pL = q->A[i-]; //p的左兄弟
     if(pL->num >= (m_m+)/)      //情形3
     {
         //调整p
         RightCompress(p, );     //p的关键字和指针往右移动，空出位置放左子女的关键字，RightCompress会自动加1
         p->A[] = p->A[];
         p->K[] = q->K[i];        //父结点相应关键码下移
         p->A[] = pL->A[pL->num]; //左兄弟最右指针移到p的最左
         if(p->A[] != NULL)
             p->A[]->parent = p;      //修改父结点，原来是pL
         //调整父结点
         q->K[i] = pL->K[pL->num]; //左兄弟的最大关键码上移到父结点
         //调整左兄弟
         pL->num--;   //左兄弟的关键字个数减1
     }
     else
     {
         //左右互换一下，以符合合并函数的参数要求
         BTreeNode<T> *pR = p;
         p = pL;
         MergeNode(p, q, pR, i);   //情形4，注意这里i，而不是i+1 (...p Ki pR...)
     }
 }
 //函数功能： 将结点p自i+1开始的关键字和指针往左移动1，原来的K[i],A[i]其实被覆盖掉了
 //函数参数： p指向结点，i为被覆盖的位置
 //返回值：   无
 template <typename T>
 void BTree<T>::LeftCompress(BTreeNode<T> *p, int i)
 {
     int n = p->num;   //结点关键字个数
     for(int j = i; j < n; j++)
     {
         p->K[j] = p->K[j + ];
         p->A[j] = p->A[j + ];
     }
     p->num--; //关键字个数减1
 }
 //函数功能： 将结点p自i开始的关键字和指针往右移动1，原来的K[i],A[i]空出来了
 //函数参数： p指向结点，i为空出来的位置，用于放新的关键字
 //返回值：   无
 template <typename T>
 void BTree<T>::RightCompress(BTreeNode<T> *p, int i)
 {
     for(int j = p->num; j >= i; j--) //K[i],A[i]空出来用以放插入的二元组
     {
         p->K[j + ] = p->K[j];
         p->A[j + ] = p->A[j];
     }
     p->num++; //关键字个数加1
 }
 //函数功能： 合并两个结点
 //函数参数： p指向结点，q指向父亲，pR指向p的右兄弟，i为(...p,K,pR...)中的K位置
 //返回值：   无
 template <typename T>
 void BTree<T>::MergeNode(BTreeNode<T> *p, BTreeNode<T> *q, BTreeNode<T> *pR, int i)
 {
     int n = p->num + ;   //p结点下一个放关键字的位置
     p->K[n] = q->K[i];    //下降父结点的关键字
     p->A[n] = pR->A[];   //从右兄弟左移一个指针
     for(int j = ; j <= pR->num; j++) //将右兄弟剩余关键字和指针移到p中
     {
         p->K[n + j] = pR->K[j];
         p->A[n + j] = pR->A[j];
     }
     if(p->A[]) //修改p中的子女的父结点为p，这里很重要，因为这些子女原来的父结点为pR，与分裂相对
     {
         for(int j = ; j <= pR->num; j++)
             p->A[n + j]->parent = p;
     }
     LeftCompress(q, i);            //父结点的关键字个数减1
     p->num = p->num + pR->num + ; //合并后关键字的个数
     delete pR;
     pR = NULL;
 }
 //函数功能： 打印B树
 //函数参数： 无
 //返回值：   无
 template <typename T>
 void BTree<T>::PrintBTree()
 {
     if(m_pRoot != NULL)
     {
         queue<BTreeNode<T> *> nodeQueue; //利用队列
         nodeQueue.push(m_pRoot);         //放入根结点
         while(nodeQueue.size())
         {
             BTreeNode<T> * p = nodeQueue.front();
             if(p->A[] != NULL) //非叶结点
             {
                 nodeQueue.push(p->A[]);  //将子女结点的指针放入队列中
                 for(int i = ; i <= p->num; i++)
                 {
                     nodeQueue.push(p->A[i]);
                     cout<<p->K[i]<<' ';
                 }
             }
             else
             {
                 for(int i = ; i <= p->num; i++)
                     cout<<p->K[i]<<' ';
             }     

             if(p->parent) //打印父结点的第一个关键字
                 cout<<"-----First key of their parent:"<<p->parent->K[]<<endl;
             else
                 cout<<endl;
             nodeQueue.pop();
         }
     }
 } 

可以直接运行，大家可以复制粘贴进行效果查看（算法思想很重要）

上面就是B树和B+树从概念到代码应用，B树从数据库引出的，讲完之后，也会重回数据库。下一篇将继续讲解针对SQLite进行封装的FMDB第三方的讲解并附带项目中实际使用。

欢迎大家指正。