Luogu2792 [JSOI2008]小店购物

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重题 bzoj4349 最小树形图

有 \(n\) 个物品，每个物品有价格 \(c_i\) 和所需个数 \(k_i\) ，所有物品必须恰好买 \(k_i\) 个。有 \(m\) 种优惠方案给出 \(x,\ y,\ w\) ：若买过至少一件 \(x\) 物品，则 \(y\) 物品只需 \(w\) 的价格 \((w<c_y)\) ，数据中所有 \((x,\ y)\) 不同且 \(x\neq y\) 。求最少花费。所有数据保留两位小数。

\(1\leq n\leq50,\ 0<c_i\leq1000,\ 0\leq k\leq100\)

最小树形图

---

首先判掉无效的 \(k_i=0\) 的物品，发现如果每种物品都买过一遍，那么随后所有的商品都可以以最低价格购买。那么如何求每种物品各买一个的最小花费呢？可以将 \(m\) 种优惠方案看做树边，再加一个虚拟节点 \(n+1\) ，连边 \((n+1,\ i,\ c_i)\) ，接着跑最小树形图就可以解决了

因为 \(m\) 是 \(n^2\)级别的，所以时间复杂度 \(O(n^3)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef double db;
const int maxn = 60;
int n, m, mp[maxn], sum[maxn], pre[maxn], vis[maxn], tid[maxn]; db ans, a[maxn], val[maxn];
struct edges {
  int u, v; db w;
} e[maxn * maxn];

db edmonds() {
  int rt = n;
  while (1) {
    memset(tid, 0, sizeof tid);
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      val[i] = 1e9;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
      int u = e[i].u, v = e[i].v;
      if (u != v && e[i].w < val[v]) {
        val[v] = e[i].w, pre[v] = u;
      }
    }
    int tot = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      int u = i;
      ans += val[i];
      while (vis[u] != i && !tid[u] && u != rt) {
        vis[u] = i, u = pre[u];
      }
      if (!tid[u] && u != rt) {
        tid[u] = ++tot;
        for (int v = pre[u]; u != v; v = pre[v]) {
          tid[v] = tot;
        }
      }
    }
    if (!tot) break;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      if (!tid[i]) tid[i] = ++tot;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
      int u = e[i].u, v = e[i].v;
      e[i].u = tid[u], e[i].v = tid[v];
      if (u != v) e[i].w -= val[v];
    }
    rt = tid[rt], n = tot;
  }
  return ans;
}

int main() {
  int t1, t2;
  scanf("%d", &t1);
  for (int i = 1; i <= t1; i++) {
    db x; int y;
    scanf("%lf %d", &x, &y);
    if (y) mp[i] = ++n, a[n] = x, sum[n] = y;
  }
  scanf("%d", &t2);
  m = n + t2, n++;
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    e[t2 + i].u = n, e[t2 + i].v = i, e[t2 + i].w = a[i];
  }
  for (int i = 1; i <= t2; i++) {
    int u, v; db w;
    scanf("%d %d %lf", &u, &v, &w);
    u = mp[u], v = mp[v];
    if (!u || !v) continue;
    a[v] = min(a[v], w);
    e[i].u = u, e[i].v = v, e[i].w = w;
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    ans += a[i] * (sum[i] ? sum[i] - 1 : 0);
  }
  printf("%.2f", edmonds());
  return 0;
}