【数学建模】day02-整数规划

基本类似于中学讲的整数规划--线性规划中变量约束为整数的情形。

目前通用的解法适合整数线性规划。不管是完全整数规划(变量全部约束为整数)，还是混合整数规划(变量既有整数又有实数)，MATLAB都提供了通用的求解函数。

一、0-1型整数规划

这类规划将变量限制为0和1，有时候多个规划问题可以通过引入0-1变量将问题统一在一个规划问题中讨论。例如：

拥有相互排斥的规划约束：

一般的，

二、0-1整数规划的一个解法：隐枚举法

因为变量的取值是取0-1的，所以可以枚举所有取值求得极大/极小值。例如，求解

（1）试探一个可行解(x1,x2,x3)=(1,0,0)，相应的目标函数值是3。暂做最优解。

（2）继续试探其他可行解。倘若目标函数值小于3则不考虑，这相当于增加了目标大于等于3的又一个约束。否则目标函数值大于3，则新的可行解暂做最优解，更新当前最优目标函数值，重复（2）。

（3）直到：枚举完所有可行解。

三、固定费用问题

举例说明这类问题是：有三种产品投资方式，相应增加A产品投资会使得A的固定成本上升，而由于产品产量增加使得单个产品费用下降，问如何投资使得成本最低。

解决这个问题的一个方法可以是：列成本函数，引入0-1变量统一到一个规划问题中。具体求解不赘述。

四、非线性整数规划的一个方法：蒙特卡洛法

尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；然而又由于整数解是有限个，于是为枚举法提供了方便。

当然，当自变量维数很大和取值范围很宽情况下，企图用显枚举法（即穷举法）计算出优值是不现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的情况下（这里指蒙特卡罗法随机抽取可行点求解近似解），完全可以得出一个满意解。

所谓蒙特卡洛法（随机取样），是指对于计算量过大的问题，通过随机取样计算部分，而非整体，来降低计算量的方法。这通常是近似解，但概率统计的方法证明，这是可靠的。

蒙特卡洛的应用实例。

（1）计算面积：计算y=x^2,y=12-x与x轴在第一象限围城的曲边三角形的面积。

方法：利用蒙特卡罗法。在矩形(0,0),(0,9),(12,9),(12,0)中随机生成n个点，统计落在曲边三角形内的点个数，计算频度即为曲边三角形与矩形的面积之比。

使用

matlab生成一维均匀分布随机数：

R = unifrnd(A,B)：生成区间(A,B)内的随机数，A，B可以是向量。

R = unifrnd(A,B,M,N)：生成区间(A,B)内的M*N个随机数。

R = unifrnd(A,B,[M,N])：同上。

生成二维均匀分布随机数则由一维组合而成。

matlab实现：

 clc,clear
  x = unifrnd(,,,);
  y = unifrnd(,,,);
  pinshu = sum(y<x.^ & x<=) + sum(x> & y <-x);
  area = pinshu/**;
  area

（2）一个非线性规划蒙特卡洛求解实例

使用：

产生随机数种子：为了防止相同状态开始会产生相同的伪随机数（特别是程序中有loop）

. rand('state',sum(*clock)):根据当前时间，已经不推荐使用

. rand('twister',mod(floor(now*),^-))：也可以

. rng命令

注：

实现：

先定义函数：

 function [f,g] = mente(x)
  f=x()^+x()^+*x()^+*x()^+*x()-*x()-*x()-*x()

 -x()-*x();
  g=[sum(x)- 

 x()+*x()+*x()+x()+*x()- 

 *x()+x()+*x()- 

 x()+x()+*x()-]; 

再求解：

 clc,clear
  rand('state',sum(clock));
  p0 = ;
  tic
  for i = :^
      x = *rand(,); %rand(,)生成5行1列0-1上的均匀分布随机数
      x1 = floor(x);
      x2 = ceil(x);
      [f,g] = mente(x1);
      if sum(g<=) ==
          if p0 <= f
              x0 = x1;
              p0 = f;
          end
      end
      [f,g] = mente(x2);
      if sum(g<=)==
          if p0<=f
              x0 = x2;
              p0 = f;
          end
      end
  end
  x0
  p0
  toc

五、指派问题

分配n人去做n个任务，每人做且只做一项任务。第i个人做第j项任务，花费cij时间。问如何分配人去做任务，使得总时间花费最少。

可以看出，花费cij构成矩阵，称为指派矩阵。引入0-1变量矩阵n*n，则该矩阵每行每列只有一个1，其余为0，为1代表i做任务j，转化为一个整数规划问题。

匈牙利算法可解。

六、整数规划的matlab通用解法

函数：

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

param：

　　f：目标函数系数列向量

　　intcon：整数变量的地址，如变量有x1,x2,x3,若x2,x3为整数变量，则intcon = 2:3

　　A，b对应不等约束

　　Aeq，beq对应等式约束

　　lb，ub对应边界约束

return:

　　x：取得最优值的对应变量取值

　　fval：最优值。同理，这是求标准型即min，若求max则目标函数求反

求解实例：

（1）求解指派问题：已知指派矩阵为

 clc,clear
  c = [    ;
          ;
          ;
          ;
          ];
  c = c(:);
  a = zeros(,);
  intcon = :;
  for i = :
  %这是把二维矩阵转换成一维，要满足一个人只做一个任务，一个任务只被一个人做的等式条件,共5*2个条件
       a(i,(i-)*+:*i)=;
       a(+i,i::)=;
  end
  b = ones(,);
  lb = zeros(,);
  ub = ones(,);
  [x,y] = intlinprog(c,intcon,[],[],a,b,lb,ub);
  x = reshape(x,[,])

也就是相应C矩阵，取xij1则对应i做任务j。

（2）求解混合整数规划问题

　　min z = –3x1 –2x2 – x3

　　s.t.

　　　　x1 + x2 + x3 <=7,

　　　　4x1 + 2x2 + x3 =12,

　　　　x1,x2 >=0

　　　　x3 = 0或1

分析知，只有x3是0-1整数变量，则intcon = 3

求解：

 clc,clear
  f = [-;-;-];
  A = [,,];
  b = ;
  Aeq = [,,];
  beq = ;
  lb = zeros(,);
  ub = [inf;inf;];
  intcon = ;
  [x,y] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
  x
  y