【BZOJ1925】[Sdoi2010]地精部落 组合数+DP

【BZOJ1925】[Sdoi2010]地精部落

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

 
对于 20%的数据，满足 N≤10； 
对于 40%的数据，满足 N≤18； 
对于 70%的数据，满足 N≤550； 
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

题解：容易发现这是一个基于奇偶性的DP，那么我们就分就来讨论一下。

设f[i][0/1]表示有i段，其中最左边那一段是山谷/山峰的方案数，那么我们假设前i-1段已经放好了，现在我们枚举第i段加入的位置，然后将左右两边的方案数乘起来，别忘了在乘上一个组合数。

还有这题P不是质数不能用逆元，只能n²求组合数，但是空间64MB开不下，所以要用滚动数组边DP边求组合数。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll f[4300][2],c[2][4300],mod;
int main()
{
	f[0][0]=f[0][1]=f[1][0]=c[1][0]=1;
	scanf("%d%lld",&n,&mod);
	int i,j;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		c[i&1][0]=1;
		for(j=1;j<i;j++)	c[i&1][j]=(c[(i&1)^1][j-1]+c[(i&1)^1][j])%mod;
		for(j=0;j<i;j++)	(f[i][(j&1)^1]+=c[i&1][j]*f[j][(j&1)^1]%mod*f[i-j-1][0]%mod)%=mod;q
	}
	printf("%lld",(f[n][0]+f[n][1])%mod);
	return 0;
}