扩展卢卡斯定理(Exlucas)

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前置知识

中国剩余定理(crt)或扩展中国剩余定理(excrt)
乘法逆元
组合数的基本运用
扩展欧几里得(exgcd)

说实话Lucas真的和这个没有什么太大的关系，但是Lucas还是要学学的:戳我

正文

题目是要求:

\[c_n^m mod \ p
\]

如果这个p是质数的话那太简单了,直接Lucas就好了，但问题是现在p不一定是一个质数。

我们令 $P=\prod {p_i}^{c_i}$

我们如果知道每个$c_n^m mod \ p_i^{c_i}$的值的话就可以根据中国剩余定理求出答案

那我们怎么求出这个值呢？

我们可以将$c_n^m$写成$\frac{n!}{m!(n-m)!}$

现在我们可以处理阶乘的模。那么如何处理阶乘的模呢？

举个经典例子：

$p=3,n=19,c=2$时

我们可以吧式子写成这样：

\[(19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)
\]

\[=(19*17*16*14*13*11*10*8*7*5*4*2*1)*3^6*6!
\]

我们可以将他分为几个部分

\[19*(17*16*14*13*11*10)*(8*7*5*4*2*1)*3^6*6!
\]

我们会发现对于每一个整的部分如$(8*7*5*4*2*1)$的模数都是一样的，于是这一块我们可以运用快速幂，而剩余的$19$我们可以进行暴力。对于$6!$我们可以继续递归求解,那么怎么分组呢

我们可以把每一段的范围定为$p^c$。差不多就这样吧。

code

#include<bits/stdc++.h>

#define rg register

#define int long long

#define file(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);

using namespace std;

int read(){

    int x=0,f=1;

    char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();

    return f*x;

}

inline void exgcd(int a,int b ,int &x,int &y){

    if(!b){x=1,y=0;return;}

    exgcd(b,a%b,x,y);

    int t=x;

    x=y,y=t-(a/b)*y;

}

inline int inv(int a,int b){

    int x,y;

    return exgcd(a,b,x,y),(x%b+b)%b;

}

inline int ksm(int a,int b,int p){

    int ans=1;

    while(b){

        if(b&1)

            ans=a*ans%p;

        a=a*a%p;

        b>>=1;

    }

    return ans%p;

}

inline int crt(int x,int p,int mod){

    return inv(p/mod,mod)*(p/mod)*x;

}

inline int fac(int x,int a,int b){

    if(!x)

        return 1;

    int ans=1;

    for(int i=1;i<=b;i++)

    if(i%a)

            ans*=i,ans%=b;

    ans=ksm(ans,x/b,b);

    for(int i=1;i<=x%b;i++)

        if(i%a)

            ans*=i,ans%=b;

    return ans*fac(x/a,a,b)%b;

}

inline int C(int n,int m,int a,int b){

    int N=fac(n,a,b),M=fac(m,a,b),Z=fac(n-m,a,b),sum=0;

    for(int i=n;i;i=i/a)

        sum+=i/a;

    for(int i=m;i;i=i/a)

        sum-=i/a;

    for(int i=n-m;i;i=i/a)

        sum-=i/a;

    return N*ksm(a,sum,b)%b*inv(M,b)%b*inv(Z,b)%b;

}

inline void exlucas(int n,int m,int p){

    int t=p,ans=0;

    for(int i=2;i*i<=p;i++){

        int k=1;

        while(t%i==0)

            k*=i,t/=i;

        ans+=crt(C(n,m,i,k),p,k),ans%=p;

    }

    if(t>1)

        ans+=crt(C(n,m,t,t),p,t),ans%=p;

    printf("%d",ans%p);

}

main(){

    int n=read(),m=read(),p=read();

    exlucas(n,m,p);

    return 0;

}