保证信息在传输过程中的安全性:

            保密通信、密钥交换、数字签名。

  RSA算法 Diffie-Hellman算法 DSA算法
保密通信 × ×
密钥交换 ×
数字签名 ×

数字签名具有抗否认、抗假冒、抗篡改伪造的特性

M----明文

Keb----B的公钥

Kdb----B的私钥

当先用私钥加密时,将相当于B对明文进行了数字签名,B不可抵赖。

RSA算法:

速度:

      1.由于都是大数计算,RSA最快的情况也比DES慢许多倍,无论是硬件还是软件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量的数据加密。

       2.RSA是被研究是最广泛的公钥算法,提出到现在已经历了二十年,经历了各种攻击的考验,逐渐为人们接受,普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。

执行过程:

     1.生成两个大素数p和q

     2.计算这两个素数的乘积n=p*q

     3.计算小于n并且与n互质的整数的个数,即欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)

     4.选择一个随机数e满足1<e<φ(n),并且e和φ(n)互质,即gcd(e,φ(n))==1

     5.解方程 e*d ≡1 mod φ(n),求出d

     6.保密d,p和q(销毁),公开n和e

     公钥公开:PU={e,n}

     私钥保密:PR={d,n}

RSA使用:

      加密一个报文M,发送方:

          1.获取接收方的公钥 PU={e,n}

          2.计算:C = Me mod n, where 0<=M<n

       解密密文C,接收方:

          1.用自己的私钥PR={d,n}

          2.计算:M=Cd mod n

RSA注意:

       1.RSA加密时,明文以分组的形式加密,每一个分组的比特数应该小于log2n比特,即M<n

        2.选取的素数p和q要足够大,从而乘积n足够大,在事先不知道p和q的情况下,分解n是计算上不可行的。

            如何得到足够大的随机素数?

               实际应用所采用的方法是:首先,产生一个足够大的随机数,然后,通过采用一个概率多项式时间算法来检测该随机数是否为素数(即是否具有素性)

               常用的两个素性测试算法:Solovay-Strassen和Miller-Rabin

RSA例子----密钥

        1.挑选质数:p=17 & q=11

        2.计算 n=p*q=17*11=187

        3.计算 φ(n)=(p-1)*(q-1)=16*10=160

        4.选择 e:gcd(e,160)=1;    选择  e=7

        5.求解 d:e*d≡1 mod 160 且 d<160  , d=23,显然 23*7=161=160+1

        Public key Pu={7.187}

        Private key PR={23,187}

       

        RSA 加密/解密:   M=88(注意88<187)

        加密:   C = 887 mod 187 = 11

        解密:    M = 1123 mod 187 = 88

         

        求解方程 e*d≡ 1 mod φ(n)

            当e=1001    ,    φ(n)=3837时:

             1.欧几里得算法(辗转相除法)

                     3837 = 3 * 1001 + 834

                     1001 = 1 * 834 +167

                      834 = 4 * 167 + 166

                      167 = 166 + 1

              2.回代:

                     1  = 167 - 166

                        = 167 - (834 - 4*167 )

                        = 5 * 167 -834

                        = 5 * (1001 - 834)-834

                        = 5  * 1001 - 6 * 834

                        = 5 * 1001 - 6 *(3837 - 3 * 1001)

                        =  23 * 1001 - 6 * 3837

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