EOJ Monthly 2020.1 E. 数的变幻

题目链接：https://acm.ecnu.edu.cn/contest/247/problem/E/

这道题是cf原题： Codeforces Round #608 (Div. 2) E. Common Number

Cuber QQ 正在刷 EOJ 上的水题，他正在做的一道题目是这样的。

给定一个正整数 x ：

• 如果 x 是奇数的话，则变幻成 x−1 ；
• 如果 x 是偶数的话，则变幻成 x*2 。

如此往复地执行这个操作，直到 x 变为 1 。

显然这对于 Cuber QQ 来说过于简单了。于是 Cuber QQ 根据这个发明了一个序列，称为变幻序列， x -变幻序列指的是，从 x 作为变幻的开始，一直变幻到 1 所构成的序列，例如 7 -变幻序列是 {7,6,3,2,1} ； 10 -变幻序列是 {10,5,4,2,1} 。

而现在 Cuber QQ 在纸上写出了所有 1 到 n 变幻序列，他分别统计了每一个数在这些序列中出现的次数，例如当 n=4 的时候，四个序列分别是 [1]={1},[2]={2,1},[3]={3,2,1},[4]={4,2,1} ，则 数 1 出现了 4 次，数 2 出现了 3 次 ，数 3 出现了 1 次 ，数 4 出现了 1 次。

现在 Cuber QQ 想知道最大的数 x 满足 x 在所有 1 到 n 变幻序列中至少出现了 k 次。

输入格式

第一行包含一个整数 T(1≤T≤10^4) ，表示数据组数。

对于每一组数据包含两个整数 n,k(1≤k≤n≤10^18) ，含义如题面所述。

输出格式

对于每一组数据，输出一行一个整数表示答案。

样例

input

4
4 1
4 2
4 3
4 4

output

4
2
2
1

 题意：给定一个 n ，让 1 - n 的每个数进行如上操作得到 n 个集合，问你 n 个集合中数字出现的数字次数 >= k 次的最大数是多少 ？

 

思路：

　　  我们不难发现，1 出现次数一定为 n 次，2 为 n-1 次，且数字越大出现次数就越小，根据这种性质，我们不难想到 二分答案 check，最后特判一下 二分结果 + 1是否也成立即可（因为我们check() 的是 mid<<1，故二分得到的答案必为偶数，但该偶数可能全部由 +1 的奇数转移过来，此时二分结果 +1 才是正确答案）。

　　　关于check() 的写法，我们可以发现，被check的数为奇数 x ,那么只能由 x 转移过来，得到的范围为 [ x<<1, x<<1 | 1 ] ；若为偶数，那么可以由 x 和 x+1转移过来，得到的范围为 [ x<<1, (x+1)<<1 | 1]，如此递归下去，将答案累加就是 x 的出现次数。

 

代码：

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll t, n, k, l, r, mid, res;

bool check(ll x)
{
    ll ans = ;
    queue<pair<ll, ll>>q;
    if (x & )           // 奇数可以只能由 x 转移过来
        q.push(make_pair(x, x));
    else                 // 偶数还可以由 x+1 转移过来
        q.push(make_pair(x, x + ));
    while (!q.empty())
    {
        auto now = q.front();
        q.pop();
        ans += min(n, now.second) - now.first + ;        //右边界必须在 n 内才有效
        if ((now.first << ) <= n)
            q.push(make_pair(now.first << , now.second <<  | ));    // 可以转移得到 x 的范围为 [l<<1, r<<1|1]
    }
    return ans >= k;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        res = ;
        cin >> n >> k;
        l = , r = (n + ) >> ;
        while (l +  < r)
        {
            mid = (l + r) >> ;
            if (check(mid << ))
                l = mid;
            else
                r = mid;
        }
        if (check(l <<  | ))         // 判断结果 +1 是否也成立
            res = l <<  | ;
        else
            res = l << ;
        cout << res << '\n';
    }
    return ;
}