#P4770 [NOI2018]你的名字 的题解

题目背景

实力强大的小A 被选为了ION2018 的出题人，现在他需要解决题目的命名问题。

题目描述

小A 被选为了ION2018 的出题人，他精心准备了一道质量十分高的题目，且已经把除了题目命名以外的工作都做好了。

由于ION 已经举办了很多届，所以在题目命名上也是有规定的，ION 命题手册规定：每年由命题委员会规定一个小写字母字符串，我们称之为那一年的命名串，要求每道题的名字必须是那一年的命名串的一个非空连续子串，且不能和前一年的任何一道题目的名字相同。

由于一些特殊的原因，小A 不知道ION2017 每道题的名字，但是他通过一些特殊手段得到了ION2017 的命名串，现在小A 有Q 次询问：每次给定ION2017 的命名串和ION2018 的命名串，求有几种题目的命名，使得这个名字一定满足命题委员会的规定，即是ION2018 的命名串的一个非空连续子串且一定不会和ION2017 的任何一道题目的名字相同。

由于一些特殊原因，所有询问给出的ION2017 的命名串都是某个串的连续子串，详细可见输入格式。

输入格式

第一行一个字符串S ，之后询问给出的ION2017 的命名串都是S 的连续子串。 第二行一个正整数Q，表示询问次数。 接下来Q 行，每行有一个字符串T 和两个正整数l,rl,r，表示询问如果ION2017 的 命名串是S [l..r]S[l..r]，ION2018 的命名串是T 的话，有几种命名方式一定满足规定。

输出格式

输出Q 行，第i 行一个非负整数表示第i 个询问的答案。

输入输出样例

输入

 scbamgepe
 
 smape
 sbape
 sgepe  

输出 

题解

• 分析

我们考虑对于一个询问，先求出TT中本质不同的子串个数，然后减去是S(l,r)S(l,r)子串的。

本质不同的子串个数，直接用height数组的性质就可以求。

我们考虑，对于TT的每一个后缀，求出其最长的前缀长度LL，使得该后缀长度为LL的前缀是S(l,r)S(l,r)的子串。

把SS和所有TT连起来建后缀数组。为了方便计算每个询问，我们用链表的方法，记录每个位置在同一个串中的前驱后继。

然后我们按顺序考虑TT的每一个后缀。

如果aa位置的后缀的满足条件的最长前缀为LL,，则a+1a+1位置的至少为L-1L−1。原理和求height数组相同，两边都同时去掉第一个字符，至少还留下L-1L−1。

所以考虑每个位置的话，用双指针扫描一下即可。

然后，假如我们现在考虑位置aa的长度为LL的前缀是否可行，就是相当于在SS的[l,r-L+1][l,r−L+1]内找一个位置bb，满足LCP(a,b)\geqslant LLCP(a,b)⩾L。

满足LCP(a,b)\geqslant LLCP(a,b)⩾L条件的在后缀数组上的区间[ll,rr][ll,rr]，可以二分，配合height数组的ST表在O(\log n)O(logn)的时间内求出。

然后问题转化为询问在后缀数组上的区间[ll,rr][ll,rr]内，是否存在一个在SS的[l,r-l+1][l,r−l+1]中的字符。这个问题可以用建主席树然后询问，单次查询时间复杂度O(\log n)O(logn)。

对于一个位置，它与后缀数组上一个位置可能会算重，所以要减掉它们的LCPLCP。由于两个位置可能不连续，这部分也要用ST表来查。

所以总时间复杂度O(n\log n)O(nlogn)。n=|S|+\sum|T|n=∣S∣+∑∣T∣。

• 代码

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define N 500505
 #define M 1800505
 #define reg register
 #define lg2(x)(31-__builtin_clz(x))
 typedef long long LL;
 int n,sa[M],height[M],x[M],s[M],mgk,bel[M],m,QL[N],QR[N],y[M],st[][M],nxt[M],head[N],node=,rt[M],pp[M],len[N];
 int ls[M*],rs[M*],sz[M*];
 char ss[N];
 bool isk;
 int _L,_R;
 void add(int&o,int pr,int l,int r,int pos){
     sz[o=++node]=sz[pr]+;
     if(l<r){
         const int mid=l+r>>;
         if(pos<=mid)add(ls[o],ls[pr],l,mid,pos),rs[o]=rs[pr];else add(rs[o],rs[pr],mid+,r,pos),ls[o]=ls[pr];
     }
 }
 void sort(){
     int m=mgk,c[M];
     for(int i=;i<=m;++i)c[i]=;
     for(int i=;i<=n;++i)++c[x[i]=s[i]];
     for(int i=;i<=m;++i)c[i]+=c[i-];
     for(int i=n;i;--i)sa[c[x[i]]--]=i;
     for(int k=,p;k<=n;k<<=){
         p=;
         for(int i=n-k+;i<=n;++i)y[++p]=i;
         for(reg int i=;i<=n;++i)if(sa[i]>k)y[++p]=sa[i]-k;
         for(reg int i=;i<=m;++i)c[i]=;
         for(reg int i=;i<=n;++i)++c[x[i]];
         for(reg int i=;i<=m;++i)c[i]+=c[i-];
         for(reg int i=n;i;--i)sa[c[x[y[i]]]--]=y[i];
         std::swap(x,y);
         x[sa[]]=p=;
         for(int i=;i<=n;++i)
         x[sa[i]]=y[sa[i]]==y[sa[i-]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-]+k]?p:++p;
         if(p==n)break;
         m=p;
     }
     for(int i=,k=;i<=n;++i)
     if(x[i]>){
         k-=!!k;
         const int j=sa[x[i]-];
         while(s[i+k]==s[j+k])++k;
         height[x[i]]=k;
     }
 }
 inline int find(int l,int r){
     if(l>r)return n;
     const int lg=lg2(r-l+);
     return std::min(st[lg][l],st[lg][r-(<<lg)+]);
 }
 void init(){
     for(reg int i=;i<=n;++i)st[][i]=height[i];
     for(int i=;i<;++i)
     for(reg int j=;j<=n;++j)
     if(j+(<<i)<=n)st[i+][j]=std::min(st[i][j],st[i][j+(<<i)]);else break;
     int pre[N];
     memset(pre,,sizeof pre);
     for(int i=;i<=n;++i)
     if(s[sa[i]]<='z'){
         if(pre[bel[sa[i]]])
         nxt[pre[bel[sa[i]]]]=i,pp[i]=pre[bel[sa[i]]];else head[bel[sa[i]]]=i;
         pre[bel[sa[i]]]=i;
     }
 }
 void query(const int&ri,const int&le,int l,int r){
     if(sz[ri]==sz[le]||isk)return;
     if(_L<=l&&r<=_R)return(void)(isk=);
     const int mid=l+r>>;
     if(_L<=mid)query(ls[ri],ls[le],l,mid);
     if(mid<_R&&!isk)query(rs[ri],rs[le],mid+,r);
 }
 bool check(int pos,int len,int l,int r){
     int L,ll,rr;
     ll=,rr=pos-;
     while(ll<=rr){
         const int mid=ll+rr>>;
         if(find(mid+,pos)>=len)rr=mid-;else ll=mid+;
     }
     L=rr;
     ll=pos+,rr=n;
     while(ll<=rr){
         const int mid=ll+rr>>;
         if(find(pos+,mid)>=len)ll=mid+;else rr=mid-;
     }
     isk=;
     _L=l,_R=r;
     query(rt[ll-],rt[L],,n);
     return isk;
 }
 int main(){
     memset(bel,-,sizeof bel);
     mgk='z'+;
     scanf("%s",ss);
     for(int i=;ss[i];++i)
     s[++n]=ss[i],bel[n]=;
     s[++n]=mgk++;
     scanf("%d",&m);
     for(int i=;i<=m;++i){
         scanf("%s%d%d",ss,QL+i,QR+i);
         for(int j=;ss[j];++j)
         s[++n]=ss[j],bel[n]=i;
         len[i]=n;
         s[++n]=mgk++;
     }
     sort();
     init();
     for(reg int i=;i<=n;++i)
     if(!bel[sa[i]])add(rt[i],rt[i-],,n,sa[i]);else rt[i]=rt[i-];
     for(int i=;i<=m;++i){
         LL ans=len[i]-sa[head[i]]+;
         int mnid=sa[head[i]];
         for(int j=nxt[head[i]];j;j=nxt[j]){
             ans+=len[i]-sa[j]+;
             ans-=find(pp[j]+,j);
             mnid=std::min(mnid,sa[j]);
         }
         for(int j=mnid,L=mnid;s[j]<='z';++j){
             if(L<j)L=j;
             while(s[L]<='z'&&check(x[j],L-j+,QL[i],QR[i]-L+j))++L;
             if(x[j]!=head[i])ans-=std::max(L-j-find(pp[x[j]]+,x[j]),);else
             ans-=L-j;
         }
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }