【BZOJ】【4002】【JLOI2015】有意义的字符串

构造线性递推式+矩阵乘法

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　　题解戳PoPoQQQ

　　

为了自己以后看的方便手打一遍好了>_>

　　求$( \frac{b+\sqrt{d}}{2} )^n$的整数部分对p取模后的值

　　其中$b\mod 2=1,d\mod 4=1,b^2 \leq d<(b+1)^2,n\leq10^{18}$

思路：

构造数列$a_n=b*a_{n-1}+\frac{d-b^2}{4}*a_{n-2}$

其中$a_0=2,a_1=b$

然后我们求出这个数列的通项公式，得到$a_n=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$

因此得到$(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n=a_n-(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$

由于$b \mod 2=1, d \mod 4=1$，因此$\frac{d-b^2}{4}$一定是个正整数，故我们可以利用矩阵乘法来求出这个数列的第$n$项

然后对于$80\%$的数据$b^2\leq d <(b+1)^2$，对于$20\%$的数据$b=1,d=5$，因此$(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n \in (-1,0]$

故后面那一项对答案有贡献当且仅当 $d\not=b^2$且$n$为偶数

时间复杂度$O(log_2n)$

P.S.话说题目给的提示：题目名有意义的字符串“jxamfe”以及那个奇怪的模数我还是没明白提示在哪了……>_>我讨厌猜字谜QAQ

 /**************************************************************
     Problem: 4002
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:48 ms
     Memory:1272 kb
 ****************************************************************/
 
 //Huce #5 A
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 using namespace std;
 typedef unsigned long long LL;
 LL getll(){
     LL v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') {if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<='') {v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 const int N=,INF=~0u>>;
 const LL MOD=7528443412579576937LL;
 /*******************tamplate********************/
 LL b,d,n;
 struct matrix{
     LL d[][];
     LL* operator [] (int x){ return d[x];}
     matrix(int x=){
         F(i,,) F(j,,)
             if (i==j && i) d[i][j]=x;
             else d[i][j]=;
     }
 }a;
 inline LL mul(LL a,LL b){
     LL r=;
     for(;b;b>>=,a=(a+a)%MOD)
         if (b&) r=(r+a)%MOD;
     return r;
 }
 inline matrix operator * (matrix a,matrix b){
     matrix c;
     F(i,,) F(j,,) F(k,,) (c[i][j]+=mul(a[i][k],b[k][j]))%=MOD;
     return c;
 }
 inline matrix Pow(matrix a,LL b){
     matrix r();
     for(;b;b>>=,a=a*a) if (b&) r=r*a;
     return r;
 }
 int main(){
     b=getll(); d=getll(); n=getll();
     a[][]=; a[][]=(d-b*b)/;
     a[][]=; a[][]=b;
     a=Pow(a,n);
     cout<<((a[][]*%MOD+mul(b,a[][])-(d!=b*b&&!(n&)))%MOD+MOD)%MOD<<endl;
     return ;
 }

4002: [JLOI2015]有意义的字符串

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
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Description

B 君有两个好朋友，他们叫宁宁和冉冉。

有一天，冉冉遇到了一个有趣的题目：输入 b;d;n，求((b+sqrt(D)/2)^N的整数部分，请输出结果 Mod 7528443412579576937 之后的结果吧。

Input

一行三个整数 b;d;n

 

Output

一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。

Sample Input

1 5 9

Sample Output

76

HINT

0 <b^2 < d< (b +1)2 < 10^18。

Source

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