CF901C Bipartite Segments[点双+二分+前缀优化]

不想翻译了，直接放luogu翻译

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说了没有偶环，也就是说全是奇环，再结合二分图性质，那么暴力的话，固定左端点，增大序号，加点直到产生环就不合法了。也就是说，任何一个环，只要他上面的数全都被加了，就不合法了，那么，环上的数若最大$\text{m2}$，最小$\text{m1}$，那么如果当前枚举的子区间$x\le m1且y\ge m2$，那就不合法了。这样，我们可以转化一下问题，给一堆区间，然后每次问$[L,R]$有多少子区间不合法（即存在一个给定的区间被这个子区间覆盖了），然后总方案数减去不合法数。但是还存在两个问题。

一，上述的环有多少个？怎么找？发现所有环都是奇环，任何两个奇环不能相交或者公用边，因为这些情况都会附带再产生一个偶环（结论源自于手动模拟），与题意矛盾。所以，每条边最多属于一个简单的奇环。那么，这就是一个仙人掌。。所以，可以证出，环是相互独立的，并且不会超过$M/3$个。这样，就可以接受了，这些环通过点连接，可以看成是一堆点双连接，我们直接tarjan找点双，每个点双对应到区间上即可。

二，区间询问怎么做？`````假设左端点$x$，那么右端点向右开始挪，当不合法（也就是区间被覆盖了）的时候后面都不合法了。再看以$x-1$为左端点，首先不合法的右端点只会比$x$的小。。所以，我们维护这样一个$rb_i$表示最早找到的一个右端点使得这个区间$[i,rb_i]$覆盖了某给定区间，那么他是单调不减的（就是上面这个说明）。那么，为了计算所有不合法子区间，只要计算$\sum\limits_{i\in [l,r],rb_i\le r}(r-rb_i+1)=(x-l+1)(r+1)-\sum\limits_{i=l}^{x}rb_i$。这里的$x$是最靠右的$i$,且$i\in [l,r],rb_i\le r$。为了找到$x$，利用上述$rb$单调性质，直接二分查找即可。sum的部分可以直接前缀和预处理。然后即可快速计算答案。

有关仙人掌的坑。。有空再补。。虽然这题似乎和仙人掌没啥太大关系

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #define mst(x) memset(x,0,sizeof x)
 #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl
 #define dbg2(x,y) cerr<< #x <<" = "<< x <<"  "<< #y <<" = "<< y <<endl
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef double db;
 typedef pair<int,int> pii;
 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,):;}
 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,):;}
 template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;}
 template<typename T>inline T read(T&x){
     x=;int f=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=;
     while(isdigit(c))x=x*+(c&),c=getchar();return f?x=-x:x;
 }
 const int N=3e5+;
 struct thxorz{
     int to[N<<],nxt[N<<],head[N],tot;
     inline void add(int x,int y){
         to[++tot]=y,nxt[tot]=head[x],head[x]=tot;
         to[++tot]=x,nxt[tot]=head[y],head[y]=tot;
     }
 }G;
 ll sum[N];
 int n,m,q,L,R,l,r;
 int rb[N];
 #define y G.to[j]
 int dfn[N],low[N],tim,stk[N],Top,rt;
 void tarjan(int x){//dbg(x);
     dfn[x]=low[x]=++tim;
     if(rt==x&&!G.head[x])return;
     stk[++Top]=x;
     for(register int j=G.head[x];j;j=G.nxt[j]){
         if(!dfn[y]){
             tarjan(y),MIN(low[x],low[y]);
             if(low[y]>=dfn[x]){
                 int tmp,mi=n+,ma=,cnt=;
                 do MIN(mi,tmp=stk[Top--]),MAX(ma,tmp),++cnt;while(tmp^y);
                 MIN(mi,x),MAX(ma,x),++cnt;//dbg2(mi,ma);
                 if(cnt>)MIN(rb[mi],ma);
             }
         }
         else MIN(low[x],dfn[y]);
     }
 }
 #undef y
 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.ans","w",stdout);
     read(n),read(m);
     for(register int i=,x,y;i<=m;++i)read(x),read(y),G.add(x,y);
     fill(rb+,rb+n+,n+);
     for(register int i=;i<=n;++i)if(!dfn[i])Top=,tarjan(i);
     for(register int i=n-;i;--i)MIN(rb[i],rb[i+]);//dbg2(i,rb[i]);
     for(register int i=;i<=n;++i)sum[i]=sum[i-]+rb[i];
     read(q);for(register int i=,L,R,mid;i<=q;++i){
         l=read(L),r=read(R);--L;
         while(L<R){
             mid=L+R+>>;
             if(rb[mid]<=r)L=mid;
             else R=mid-;
         }//dbg(L);
         printf("%I64d\n",(r-l+)*1ll*(r-l+)/-((L-l+)*1ll*(r+)-(sum[L]-sum[l-])));
     }
     return ;
 }

总结：主要在问题二上卡住了。主要还是考虑从暴力入手，因为这个子区间问题基本思路就是固定左端点，算右端点，因为这题有两个单调的地方，所以可以用前缀和优化。