P1417 烹调方案[背包]

题目背景

由于你的帮助，火星只遭受了最小的损失。但gw懒得重建家园了，就造了一艘飞船飞向遥远的earth星。不过飞船飞到一半，gw发现了一个很严重的问题：肚子饿了~

gw还是会做饭的，于是拿出了储藏的食物准备填饱肚子。gw希望能在T时间内做出最美味的食物，但是这些食物美味程度的计算方式比较奇葩，于是绝望的gw只好求助于你了。

题目描述

一共有n件食材，每件食材有三个属性，ai，bi和ci，如果在t时刻完成第i样食材则得到ai-t*bi的美味指数，用第i件食材做饭要花去ci的时间。

众所周知，gw的厨艺不怎么样，所以他需要你设计烹调方案使得美味指数最大

输入输出格式

输入格式：

第一行是两个正整数T和n，表示到达地球所需时间和食材个数。

下面一行n个整数，ai

下面一行n个整数，bi

下面一行n个整数，ci

输出格式：

输出最大美味指数

输入输出样例

输入样例#1：

74 1
502
2
47

输出样例#1：

408

说明

【数据范围】

对于40%的数据1<=n<=10

对于100%的数据1<=n<=50

所有数字均小于100,000

【题目来源】

tinylic改编

解析：

目前为止第一道当我觉得“卧槽！还有这种操作？！”的一道题目。

upd：2019-7-8

这道题其实可以联系到一些贪心的思想，比如P1080 【NOIP 2012】 国王游戏这题。

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乍一看，就是一个01背包。

说实话一开始我也对这个与背包容量（也就是时间）有关的费用大小有所顾虑，我还以为就是个泛化背包，没啥别的。毫无疑问写出来交上去爆0，也是在预料之中的。如果隐隐约约感觉到当前时刻对价值的影响，那么就说明方向对了。

实际上，我们会发现对于任意两个相邻的食材\(x\)和\(y\)，显然先做\(x\)和先做\(y\)是会得到不同的价值的。如果把\(x\)比\(y\)先做，那\(y\)的价值就有损失，反之\(x\)的价值有损失。但是我们并不知道是把\(x\)放在前面最优还是把\(y\)放在前面最优。

我们可以稍微比较一下：

把\(x\)放在前面时：\(a[x]- (t+c[x])*b[x]+a[y]-(t+c[y]+c[x])*b[y]\)

把\(y\)放在前面时：\(a[y]-(t+c[y] )*b[y]+a[x]-(t+c[x]+c[y])*b[x]\)

如果要整体最优，那我们势必要让任何时刻有一式\(>\)二式。

化简后得到\(c[x]*b[y]<c[y]*b[x]\)

我们只要在01背包之前对输入数据排个序就行了。

妙哉。

参考代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define N 100010
#define MOD 2520
#define E 1e-12
#define ll long long
using namespace std;
ll dp[N];
int t,n,b[N];
struct rec{
	ll a,b,c;
}v[N];
//a[x]-(t+c[x])*b[x]+a[y]-(t+c[y]+c[x])*b[y] 若x在前
//a[y]-(t+c[y])*b[y]+a[x]-(t+c[x]+c[y])*b[x] 若y在前
bool operator<(rec a,rec b)
{
	return a.c*b.b<b.c*a.b;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&t,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&v[i].a);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&v[i].b);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&v[i].c);
	ll ans=-INF;
	sort(v+1,v+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=t;j>=v[i].c;j--){
	 	dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i].c]+v[i].a-j*v[i].b);
	 	ans=max(ans,dp[j]);
	 }
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}