Leonardo的笔记本LA 3641——置换的乘法

题意

给出26个大写字母的置换 $B$，问是否存在一个置换 $A$，使得 $A^2=B$.

分析

首先，若A=BC，若B和C都能表示成两个相同循环的乘积，则A也能。

因为，不相交的循环的乘积满足交换律和结合律，

设 $B=(b_1\ b_2 \ b_3)^2, C=(c_1 \ c_2 \ c_3 \ c_4)^2$，则 $A^2 = (b_1\ b_2 \ b_3)^2 \times (c_1 \ c_2 \ c_3 \ c_4)^2 = ((b_1\ b_2 \ b_3) \times (c_1 \ c_2 \ c_3 \ c_4))^2$.

其次，考察两个相同循环的乘积，

$$(a_1 \ a_2 \ a_3)(a_1 \ a_2 \ a_3) = (a_1 \ a_3 \ a_2)\\
(b_1 \ b_2\ b_3\ b_4)(b_1 \ b_2\ b_3\ b_4) = (b_1 \ b_3)(b_2 \ b_4)$$

不难总结出规律：当 $n$ 为奇数时结果也是一个长度为 $n$ 的循环；当 $n$ 为偶数时分裂成两个长度为 $n/2$ 的循环。

反过来，偶数长的循环需要两两配对，奇数长的不用管。

#include<bits//stdc++.h>
using namespace std;
 
char B[];
int vis[], cnt[];
 
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%s", B);
        memset(vis, , sizeof(vis));
        memset(cnt, , sizeof(cnt));
        for(int i = ;i < ;i++)
        {
            if(!vis[i]) //找到一个从i开始的循环
            {
                int j = i, tmp = ;
                do {
                    vis[j] = ;
                    j = B[j] - 'A';
                    tmp++;
                }while(i != j);
                cnt[tmp]++;
            }
        }
        bool flag = true;
        for(int i = ;i <= ;i += )   //只管偶数长度的即可
            if(cnt[i] % )  flag = false;
 
        if(flag)  printf("Yes\n");
        else  printf("No\n");
    }
    return ;
}