P4139 上帝与集合的正确用法[欧拉定理]

题目描述

求

\[2^{2^{2\cdots}} ~mod ~p
\]

简单题，指数循环节。

由于当\(b>=\psi(p)\)时，有

\[a^b=a^{b ~mod~\psi(p)+\psi(p)} \pmod p
\]

显然这道题满足这个条件。

那当然是算\(\psi(p)\)然后\(2^{2^{2\cdots}}\)就可以变成

\[2^{2^{2^{2\cdots}}}=2^{(2^{2^{2\cdots}} ~mod~\psi(p)+\psi(p))} \pmod p
\]

啦。

往指数里头进行递归，每次算一个\(\psi(p')\)即可（显然有解）。

边界\(p=1\)时，显然式子\(=0\)。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define N 101
#define MOD 2520
#define E 1e-12
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
	int f=1,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';;c=getchar();}
	return x*f;
}
inline int phi(int n)
{
	int ans=n;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);++i){
		if(n%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0) n/=i;
		}
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}
int p;
inline ll qp(ll a,ll b,ll p)
{
	ll ans=1;
	for(;b;b>>=1){if(b&1)ans=(ans*a)%p;a=(a*a)%p;}
	return ans%p;
}
inline int dfs(ll x)
{
	if(x==1) return 0;
	return qp(2,dfs(phi(x))+phi(x),x);
}
int main()
{
	int t;
	t=read();
	while(t--){
		p=read();
		printf("%lld\n",dfs(p)%p);
	}
	return 0;
}