cyyz: Day 2 线段树知识整理

Day 2

上午的听课，哎~昏昏欲睡好吧。。

一、扫描线

知识点：

由于多边形千变万化，要想填充多边形内部的所有像素，需要找到一种合适的规则，能够沿着一个方向，一个像素不漏地把多边形内部填满，同时不污染多边形外部。于是我们发明了一条水平方向的扫描线，它从y=0开始，判断与多边形的交点，这些交点把扫描线分成了若干段，我们需要判断哪些段在多边形内部，哪些段在多边形外部，然后把内部的部分着色，完成后，令y=y+1，即扫描线上移一格，重复之前的操作，直到扫描线不再与多边形的任何部分相交。

例题（poj 1151）：

代码实现：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const int N=;
 double w[N<<];
 double x,y,dx,dy,ans;
 int n,res=,js;

 struct edge {
     double l,r,h;
     int f;
 }e[N<<];

 struct node {
     int l,r,s;
     double lc;
 }q[N<<];

 inline bool cmp(edge a,edge b) {
     return a.h<b.h;
 }

 inline void build (int i,int l,int r) {
     q[i]=(node){l,r,,};
     if(l==r) return;
     int mid=(q[i].l+q[i].r)>>;
     build(i<<,l,mid);
     build(i<<|,mid+,r);
 }

 inline void push_up(int i) {
     if(q[i].s) q[i].lc=w[q[i].r+]-w[q[i].l];
     else if(q[i].l==q[i].r) q[i].lc=;
     else q[i].lc=q[i<<].lc+q[i<<|].lc;
 }

 void up_date(int i,int l,int r,int v) {
     if(q[i].l==l && q[i].r==r) {
         q[i].s+=v;
         push_up(i);
         return;
     }
     int mid=(q[i].l+q[i].r)>>;
     if(r<=mid) up_date(i<<,l,r,v);
     else if(l>mid) up_date(i<<|,l,r,v);
     else up_date(i<<,l,mid,v),up_date(i<<|,mid+,r,v);
     push_up(i);
 }

 inline void IU() {
     e[js]=(edge) {x,dx,y,};
     w[js]=x;
     e[js+]=(edge){x,dx,dy,-};
     w[js+]=dx;
 }

 int main() {
     while (scanf("%d",&n)== && n) {
         js=;
         for(int i=;i<n;++i) {
             scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&dx,&dy);
             IU(); js+=;
         }
         sort(e,e+js,cmp);
         sort(w,w+js);
         int k=;
         for(int i=;i<js;++i)
             if(w[i]!=w[i-]) w[k++]=w[i];
         build(,,k-);
         ans=;
         for(int i=;i<js;++i) {
             int l=lower_bound(w,w+k,e[i].l)-w;
             int r=lower_bound(w,w+k,e[i].r)-w-;
             up_date(,l,r,e[i].f);
             ans+=(e[i+].h-e[i].h)*q[].lc;
         }
         printf("Test case #%d\n",++res);
         printf("Total explored area: %.2f\n\n",ans);
     }
     return ;
 }
 //poj 1151

代码实现

 

二、线段树（大全）

知识点：

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN)。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。线段树至少支持下列操作:

1.Insert(t,x):将包含在区间 int 的元素 x 插入到树t中;

2.Delete(t,x):从线段树 t 中删除元素 x;

3.Search(t,x):返回一个指向树 t 中元素 x 的指针。

线段树代码实现：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const int N=;
 int sum[N<<],a[N+];
 int n,m,k,L,R;

 inline int read() {
     int n=,f=;char ch=getchar();
     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}
     return n*f;
 }

 inline void push_up(int rt) {
     sum[rt]=sum[rt<<]+sum[rt<<|];
 }

 inline void build(int l,int r,int rt) {
     if(l==r) {
         sum[rt]=a[l];
         return ;
     }
     int m=(l+r)>>;
     build(l,m,rt<<),build(m+,r,rt<<|);
     push_up(rt);
 }

 inline int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
     if(L<=l&&r<=R) return sum[rt];
     int s=;
     int m=(l+r)>>;
     if(L<=m) s+=query(L,R,l,m,rt<<);
     if(R>m) s+=query(L,R,m+,r,rt<<|);
     return s;
 }

 inline void up_date(int L,int C,int l,int r,int rt) {
     if(l==r) {
         sum[rt]+=C;
         return;
     }
     int m=(l+r)>>;
     if(L<=m) up_date(L,C,l,m,rt<<);
     else up_date(L,C,m+,r,rt<<|);
     push_up(rt);
 }

 int main() {
     n=read();
     for(int i=;i<=n;++i) a[i]=read();
     build(,n,);
     m=read();
     for(int i=;i<m;++i) {
         k=read(),L=read(),R=read();
         if(k==) up_date(L,R,,n,);
         if(k==) printf("%d\n",query(L,R,,n,));
     }
     return ;
 }

代码实现

线段树（区间加及求和）代码实现：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define N 1000001
 #define ll long long
 using namespace std;
 ll a[N],ans[N<<],t[N<<];
 ll bz,b,c,d,e,f,n,m;

 inline ll read() {
     ll n=,f=;char ch=getchar();
     while (ch<''||ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
     while (ch<=''&&ch>='') {n=n*+ch-'';ch=getchar();}
     return n*f;
 } 

 inline void pushup_(ll i) {
     ans[i]=ans[i<<]+ans[i<<|];
 }

 inline void build(ll i,ll l,ll r) {
     t[i]=;
     if(l==r) {
         ans[i]=a[l];
         return ;
     }
     ll mid=(l+r)>>;
     build(i<<,l,mid);
     build(i<<|,mid+,r);
     pushup_(i);
 }

 inline void work_(ll i,ll l,ll r,ll k) {
     t[i]=t[i]+k;
     ans[i]=ans[i]+k*(r-l+);
 }

 inline void push_down(ll i,ll l,ll r) {
     ll mid=(l+r)>>;
     work_(i<<,l,mid,t[i]);
     work_(i<<|,mid+,r,t[i]);
     t[i]=;
 }

 inline void _work(ll a,ll b,ll l,ll r,ll i,ll k) {
     if(a<=l&&r<=b) {
         ans[i]+=k*(r-l+);
         t[i]+=k;
         return ;
     }
     push_down(i,l,r);
     ll mid=(l+r)>>;
     if(a<=mid) _work(a,b,l,mid,i<<,k);
     if(b>mid) _work(a,b,mid+,r,i<<|,k);
     pushup_(i);
 }

 inline ll query(ll a,ll b,ll l,ll r,ll i) {
     ll s=;
     if(a<=l&&r<=b) return ans[i];
     ll mid=(l+r)>>;
     push_down(i,l,r);
     if(a<=mid) s+=query(a,b,l,mid,i<<);
     if(b>mid) s+=query(a,b,mid+,r,i<<|);
     return s;
 }

 int main() {
     n=read(),m=read();
     for(ll i=;i<=n;++i) a[i]=read();
     build(,,n);
     while(m--) {
         bz=read();
         if(bz==) {
             b=read(),c=read(),d=read();
             _work(b,c,,n,,d);
             continue;
         }
         if(bz==) {
             e=read(),f=read();
             printf("%lld\n",query(e,f,,n,));
             continue;
         }
     }
     return ;
 }

代码实现

线段树（区间修改及询问）代码实现：

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=1e6+;
 ll t[N],bz[N],dz[N],L[N],R[N];
 int n,m,f,x,y;
 ll add;

 inline int read() {
     int n=,f=;char ch=getchar();
     while (ch<''||ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
     while (ch<=''&&ch>='') {n=n*+ch-'';ch=getchar();}
     return n*f;
 } 

 inline ll readx() {
     ll n=,f=;char ch=getchar();
     while (ch<''||ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
     while (ch<=''&&ch>='') {n=n*+ch-'';ch=getchar();}
     return n*f;
 } 

 inline void _work(int i,int l,int r) {
     L[i]=l,R[i]=r;
     int mid=(l+r)>>;
     if(l==r) {
         t[i]=dz[l];
         return;
     }
     _work(i<<,l,mid),_work(i<<|,mid+,r);
     t[i]=t[i<<]+t[i<<|];
 }

 inline void down_(int i) {
     if(bz[i]) {
         int mid=(L[i]+R[i])>>;
         t[i<<]+=(mid-L[i]+)*bz[i];
         t[i<<|]+=(R[i]-mid)*bz[i];
         bz[i<<]+=bz[i];
         bz[i<<|]+=bz[i];
         bz[i]=;
     }
 }

 inline void work_(int i,int l,int r,ll add) {
     if(L[i]>=l && R[i]<=r) {
         t[i]+=(R[i]-L[i]+)*add;
         bz[i]+=add;
         return;
     }
     if(L[i]>r || R[i]<l)return;
     down_(i);
     work_(i<<,l,r,add),work_(i<<|,l,r,add);
     t[i]=t[i<<]+t[i<<|];
 }

 inline ll query(int i,int l,int r) {
     if(L[i]>=l && R[i]<=r) return t[i];
     if(L[i]>r || R[i]<l) return ;
     ll s=;
     down_(i);
     s+=query(i<<,l,r),s+=query(i<<|,l,r);
     return s;
 }

 int main() {
     n=read();
     for(int i=;i<=n;++i) dz[i]=readx();
     m=read();
     _work(,,n);
     for(int i=;i<=m;++i) {
         f=read();
         switch(f) {
             case :
                 x=read(),y=read(),add=readx();
                 work_(,x,y,add);
                 break;
             case :
                 x=read(),y=read();
                 printf("%lld\n",query(,x,y));
                 break;
             default:
                 printf("Orz %%%");
                 break;
         }
     }
     return ;
 }

代码实现

线段树（区间加乘及求和）代码实现：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #define ll long long int
 using namespace std;
 int const N=4e5+;

 struct Tre {
     ll sum, v, bz, l, r;
 }e[N];

 ll n,m,mod,L,R,val,bz;
 ll t[N];

 inline ll read() {
     ll n=,f=;char ch=getchar();
     while (ch<''||ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
     while (ch<=''&&ch>='') {n=n*+ch-'';ch=getchar();}
     return n*f;
 } 

 inline void push_up(ll i) {
     e[i].sum=(e[i<<].sum+e[i<<|].sum)%mod;
 }

 inline void build(ll l, ll r, ll i) {
     e[i].l=l,e[i].r=r,e[i].bz=;
     if(l==r) {
         e[i].sum=t[l]%mod;
         return;
     }
     ll mid=(l+r)>>;
     build(l,mid,i<<),build(mid+,r,i<<|);
     push_up(i);
 }

 inline void pushdown(ll i) {
     if(e[i].bz!=) {
         e[i<<].v*=e[i].bz;   e[i<<|].v*=e[i].bz;
         e[i<<].bz*=e[i].bz;  e[i<<|].bz*=e[i].bz;
         e[i<<].sum*=e[i].bz; e[i<<|].sum*=e[i].bz;
         e[i<<].v%=mod; e[i<<|].v%=mod;
         e[i<<].bz%=mod; e[i<<|].bz%=mod;
         e[i<<].sum%=mod; e[i<<|].sum%=mod;
         e[i].bz=;
     }
     if(e[i].v) {
         e[i<<].v+=e[i].v; e[i<<|].v+=e[i].v;
         e[i<<].sum+=(e[i<<].r-e[i<<].l+)*e[i].v;
         e[i<<|].sum+=(e[i<<|].r-e[i<<|].l+)*e[i].v;
         e[i<<].v%=mod; e[i<<|].v%=mod;
         e[i<<].sum%=mod; e[i<<|].sum%=mod;
         e[i].v=;
     }
 }

 inline void work_(ll i) {
     if(e[i].l>=L && e[i].r<=R) {
         e[i].bz*=val%mod; e[i].bz%=mod;
         e[i].v*=val%mod; e[i].v%=mod;
         e[i].sum*=val%mod; e[i].sum%=mod;
         return;
     }
     pushdown(i);
     ll mid=(e[i].l+e[i].r)>>;
     if(L<=mid) work_(i<<);
     if(R>mid) work_(i<<|);
     push_up(i);
 }

 inline void _work(ll i) {
     if(e[i].l>=L && e[i].r<=R) {
         e[i].sum+=((e[i].r-e[i].l+)*val)%mod;
         e[i].sum%=mod; e[i].v+=val%mod;
         e[i].v%=mod;
         return;
     }
     pushdown(i);
     ll mid=(e[i].l+e[i].r)>>;
     if(L<=mid) _work(i<<);
     if(R>mid) _work(i<<|);
     push_up(i);
 }

 inline ll query(ll i) {
     if(e[i].l>=L && e[i].r<=R) return e[i].sum%mod;
     pushdown(i);
     ll mid=(e[i].l+e[i].r)>>, ret=;
     if(L<=mid) ret=(ret+query(i<<)%mod)%mod;
     if(R>mid) ret=(ret+query(i<<|)%mod)%mod;
     push_up(i);
     return ret%mod;
 }

 int main() {
     n=read(),m=read(),mod=read();
     for(int i=;i<=n;++i) t[i]=read();
     build(,n,);
     for(int i=;i<=m;++i) {
         bz=read();
         if(bz==) {
             L=read(),R=read(),val=read();
             work_();
         } else if(bz==) {
             L=read(),R=read(),val=read();
             _work();
         } else {
             L=read(),R=read();
             printf("%d\n", query());
         }
     }
     return ;
 }

代码实现

线段树（区间修改及询问，单点修改及询问） 代码实现：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #define ll long long int
 using namespace std;
 int n,m,opt,b,c,x;
 const int N=6e5+;

 struct note {
     int l,r,s;
 } t[N]; 

 inline int read() {
     int n=,f=;char ch=getchar();
     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}
     return n*f;
 }
 //建树
 inline void build(int k,int l,int r) {
     int lc=k<<,rc=k<<|;
     t[k].l=l,t[k].r=r;
     int mid=(l+r)/;
     if(l==r) {
         t[k].s=read();
         return;
     }
     build(lc,l,mid),build(rc,mid+,r);
     t[k].s=t[lc].s+t[rc].s;
 }
 //单点修改
 inline void _change(int k,int p,int v) {
     int lc=k<<,rc=k<<|;
     int l=t[k].l,r=t[k].r;
     if(l==r) {
         t[k].s+=v;
         return ;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     if(p<=mid) _change(lc,p,v);
     else _change(rc,p,v);
     t[k].s=t[lc].s+t[rc].s;
 }
 //区间修改
 inline void change_(int k,int l,int r,int v) {
     int lc=k<<,rc=k<<|;
     if(t[k].l==t[k].r) {
         t[k].s+=v;
         return ;
     }
     int mid=(t[k].l+t[k].r)>>;
     if(l<=mid) change_(lc,l,min(r,mid),v);
     if(r>mid) change_(rc,max(l,mid+),r,v);
     t[k].s=t[lc].s+t[rc].s;
 }
 //单点查询
 inline int _query(int k,int p) {
     int lc=k<<,rc=k<<|;
     int l=t[k].l,r=t[k].r;
     if(l==r) return t[k].s;
     int mid=(l+r)>>;
     if(p<=mid) return _query(lc,p);
     else return _query(rc,p);
 }
 //区间查询
 inline int query_(int k,int l,int r) {
     int lc=k<<,rc=k<<|;
     if(t[k].l==l&&t[k].r==r) return t[k].s;
     int mid=(t[k].l+t[k].r)>>,ans=;
     if(l<=mid) ans+=query_(lc,l,min(r,mid));
     if(r>mid) ans+=query_(rc,max(l,mid+),r);
     return ans;
 }

 int main() {
     n=read();
     build(,,n);
     m=read();
     for(int i=;i<=m;++i) {
         opt=read();
         if(opt==) {
             b=read(),c=read(),x=read();
             change_(,b,c,x);
         }
         if(opt==) {
             b=read();
             printf("%d\n",_query(,b));
         }
         if(opt==) {lue...}
         if(opt==) {lue...}
     }
     return ;
 }

代码实现