【cf contest 1119 H】Triple

题目

给出 \(n\) 个三元组\(\{ a_i,b_i,c_i \}\)和\(x,y,z\)；

将每个三元组扩展成(\(x\)个\(a_i\)，\(y\)个\(b_i\)，\(z\)个\(c_i\))；

问从\(n\)组里面每组选一个数，这\(n\)个数异或值为x 的方案数​\(mod \ 998244353\)是多少；

\(1 \le n \le 10^5 \ , \ 1 \le k \le 17 \ , \ 0 \le x,y,z \le 10^9 \ , 0 \le \ a_i,b_i,c_i \lt 2^k\) ；

题解

• 最后的答案异或一个 \(\oplus_{i=1}^{n} a_i\) ，令\(\{a_i,b_i,c_i\}\)变成$ { 0 , a_i \wedge b_i , a_i \wedge c_i } $ ；

• 令\(F_{i,0}+=x \ , \ F_{i,b_i}+=y \ , \ F_{i,c_i}+=z\) ，把所有\(fwt(F_i)\)点乘起来再\(ifwt\)回去即可；

• 考虑如何求最后的乘积\(\Pi F_i\)；

• 对于\(fwt(F_i)\)，每一项一定都是\(x+y+z \ , \ x+y-z \ , \ x-y+z \ , x - y - z\) 之一;

  设纵向的个数为\(i,j,k,l\)，解出每一位\(i,j,k,l\)即可快速算出最后的乘积，首先:

  \[\begin{align}
  i +j +k + l = n
  \end{align}
  \]

  令只考虑\(F_i,b_i=1\)，设所有\(F\)加起来\(fwt\)到得到对应位值上的值为\(p\)(x=0,y=1,z=0):

  \[i + j - k - l = p
  \]

  同理只令\(F_i,c_i = 1\)，有(x=0,y=0,z=1)：

  \[i - j + k - l = p
  \]

  令\(F_{i,b_i \wedge c_i}=1\)，相当于上面两个的点值乘法，有

  \[i - j - k + l = p
  \]

  解方程即可；

• 最后\(ifwt\)回来；

  #include<bits/stdc++.h>
  #define mod 998244353
  #define ll long long
  using namespace std;
  const int N=1<<17;
  int n,X,Y,Z,l,s;
  int A[N],B[N],C[N],ans[N];
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,S[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=S)+fread(S,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  int pw(int x,int y){
  	int re=1;
  	while(y){
  		if(y&1)re=(ll)re*x%mod;
  		y>>=1;x=(ll)x*x%mod;
  	}
  	return re;
  }
  void fwt(int*a){
  	for(int i=1;i<l;i<<=1)
  	for(int j=0;j<l;j+=i<<1)
  	for(int k=0;k<i;++k){
  		int t1=a[j+k],t2=a[j+k+i];
  		a[j+k]=t1+t2;
  		a[j+k+i]=t1-t2;
  	}
  }
  void dec(int&x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
  void ifwt(int*a){
  	for(int i=1;i<l;i<<=1)
  	for(int j=0;j<l;j+=i<<1)
  	for(int k=0;k<i;++k){
  		int iv2=(mod+1)/2;
  		int t1=a[j+k],t2=a[j+k+i];
  		a[j+k]=(ll)(t1+t2)*iv2%mod;
  		a[j+k+i]=(ll)(t1-t2+mod)*iv2%mod;
  	}
  }
  int main(){
  	//freopen("H.in","r",stdin);
  	//freopen("H.out","w",stdout);
  	n=rd();l=1<<rd();
  	X=rd();Y=rd();Z=rd();
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		int a=rd(),b=rd(),c=rd();
  		s^=a;b^=a;c^=a;a=b^c;
  		A[b]++,B[c]++,C[a]++;
  	}
  	fwt(A);fwt(B);fwt(C);
  	int t1=((ll)X+Y+Z)%mod;
  	int t2=((ll)X+Y-Z+mod)%mod;
  	int t3=((ll)X-Y+Z+mod)%mod;
  	int t4=((ll)X-Y-Z+mod+mod)%mod;
  	for(int i=0;i<l;++i){
  		ans[i] =
  		(ll)pw(t1,(n+A[i]+B[i]+C[i])>>2)
  		*pw(t2,(n+A[i]-B[i]-C[i])>>2)%mod
  		*pw(t3,(n-A[i]+B[i]-C[i])>>2)%mod
  		*pw(t4,(n-A[i]-B[i]+C[i])>>2)%mod;
  	}
  	ifwt(ans);
  	for(int i=0;i<l;++i)printf("%d ",ans[i^s]);
  	return 0;
  }