【JZOJ6246】【20190627】B

题目

求逆续对个数为\(k\)的\(n\)阶排列个数\(mod \ 1e9+7\)

$1 \le n \ , \ k \le 10^5 $　

题解

• $f_{i,j} = \sum_{k=0}^{i-1} f_{i-1,j-k} $

• 则有\(F_i(x) = F_{i-1}(x) * \sum_{j=0}^{i-1}x^j = F_{i-1}(x)\frac{1-x^i}{1-x}\)

• $F(x) \ = \ \frac{\prod_{i=1}^{n}1-xi}{(1-x)^n} $

• 分母可以直接展开成$ \sum_i C_{n+i-1}^{i} x^i $

• 分子的求法有两种：

  • 1.取\(= exp(ln(\prod 1-x^i)) = exp( -\sum_{j\ge1} \frac{x^{ij}}{j})\)

  由于只需要前\(K\)项，所以求exp里面的部分是\(n log \ n\)，接着套exp模板

  时间复杂度：\(O(n \ log \ n )\)　(由于要写mtt常数巨大．．．)

  • 2.这个式子本质是一个背包问题，注意到可选的物品个数不超过\(\sqrt{2K}\)

  设\(g_{i,j}\)表示选了\(i\)个物品，容积为\(j\)的系数和，考虑体积的变化

  \(g_{i,j} \ = \ g_{i,j-i} - g_{i-1,j-i} + g_{i-1,j-n-1}\)

  时间复杂度：$O(n \sqrt{N}) $

Code

//sol 2
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ld double
#define mod 1000000007
#define il inline
#define rg register
using namespace std;
const int N=100010,M=500;
int n,m,K,fac[N<<1],inv[N<<1],ny[N<<1],f[M][N],a[N];
il void dec(int&x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
il void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int cal(int x,int y){return x<y?0:1ll*fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;}
int main(){
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&K);
	ny[1]=fac[0]=inv[0]=1;
	for(int i=2;i<=n+K;++i)ny[i]=1ll*(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;
	for(int i=1;i<=n+K;++i){
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
		inv[i]=1ll*inv[i-1]*ny[i]%mod;
	}
	m=sqrt(2*K)+1;f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	for(int j=i;j<=K;++j){
		f[i][j]=(f[i][j-i]-f[i-1][j-i]+mod)%mod;
		if(j>=n+1)inc(f[i][j],f[i-1][j-n-1]);
	}
	for(int i=0;i<=K;++i)
	for(int j=0;j<=m;++j)inc(a[i],f[j][i]);
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=K;++i){
		ll tmp=1ll*a[i]*cal(K-i+n-1,n-1)%mod;
		inc(ans,tmp);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

//sol 1
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ld long double
#define il inline
#define rg register
using namespace std;
const int N=1<<20,all=(1<<15)-1,mod=1e9+7;
const ld pi=acos(-1);
int n,K,ny[N],fac[N],inv[N],a[N],b[N],c[N],lst=-1;
il void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
il void dec(int&x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
il int cal(int x,int y){return x<y?0:(ll)fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;}
struct C{
	ld x,y;
	C(ld _x=0,ld _y=0):x(_x),y(_y){};
	C operator +(const C&A){return C(x+A.x,y+A.y);}
	C operator -(const C&A){return C(x-A.x,y-A.y);}
	C operator *(const C&A){return C(x*A.x-y*A.y,x*A.y+y*A.x);}
	C operator /(const ld&A){return C(x/A,y/A);}
	C operator !(){return C(x,-y);}
}Wn[2][N];
namespace poly{
	int rev[N],L;
	il void init(int l){
		for(rg int i=1;i<l;i<<=1){
			Wn[0][i]=C(cos(pi/i),sin(pi/i));
			Wn[1][i]=!Wn[0][i];
		}
	}
	il void fft(C*A,int l,int f){
		for(L=0;(1<<L)<l;++L);
		for(rg int i=0;i<l;++i){
			rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
			if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
		}
		for(rg int i=1;i<l;i<<=1){
			C wn=Wn[!~f][i];
			for(rg int j=0;j<l;j+=i<<1){
				C w(1,0);
				for(rg int k=0;k<i;++k,w=w*wn){
					C x=A[j+k],y=w*A[j+k+i];
					A[j+k]=x+y,A[j+k+i]=x-y;
				}
			}
		}
		if(!~f)for(int i=0;i<l;++i)A[i]=A[i]/l;
	}
	il void mtt(int*A,int*B,int l){
		static C t1[N],t2[N],t3[N],t4[N];
		for(rg int i=0;i<l;++i){
			t1[i]=C(A[i]&all,A[i]>>15);
			t2[i]=C(B[i]&all,B[i]>>15);
		}
		fft(t1,l,1),fft(t2,l,1);
		for(rg int i=0;i<l;++i){
			C x1=t1[i],y1=!t1[(l-i)&(l-1)];
			C x2=t2[i];
			t3[i]=(x1+y1)*x2*C(0.5,0);
			t4[i]=(x1-y1)*x2*C(0,-0.5);
		}
		fft(t3,l,-1),fft(t4,l,-1);
		for(rg int i=0;i<l;++i){
			A[i]=(
				 (ll)(t3[i].x+0.1)%mod
				+( (ll)(t3[i].y+t4[i].x+0.1)%mod<<15)
				+( (ll)(t4[i].y+0.1)%mod<<30)
				)%mod;
		}
	}
	il void cpy(int*A,int*B,int l){for(rg int i=0;i<l;++i)A[i]=B[i];}
	il void clr(int*A,int l,int r){for(rg int i=l;i<r;++i)A[i]=0;}
	il void dif(int*A,int l){for(rg int i=0;i<l-1;++i)A[i]=(ll)(i+1)*A[i+1]%mod;A[l-1]=0;}
	il void der(int*A,int l){for(rg int i=l-1;i;--i)A[i]=(ll)ny[i]*A[i-1]%mod;A[0]=0;}
	void inv(int*A,int*B,int l){
		if(l==1){B[0]=1;return;}
		static int t1[N];
		inv(A,B,l>>1);
		int len=l<<1;
		cpy(t1,A,l),clr(t1,l,len);
		clr(B,l,len);
		mtt(t1,B,len);//clr(t1,l,len);
		mtt(t1,B,len);//clr(t1,l,len);
		for(rg int i=0;i<l;++i)B[i]=(2ll*B[i]-t1[i]+mod)%mod;
		//clr(B,l,len);
	}
	void ln(int*A,int*B,int l){
		static int t1[N];
		int len=l<<1;
		cpy(t1,A,l),clr(t1,l,len),dif(t1,l);
		inv(A,B,l);
		mtt(B,t1,len);
		der(B,l),clr(B,l,len);
	}
	void exp(int*A,int*B,int l){
		if(l==1){B[0]=1;return;}
		static int t1[N];
		exp(A,B,l>>1);
		int len=l<<1;
		ln(B,t1,l);
		for(rg int i=0;i<l;++i)t1[i]=(A[i]-t1[i]+mod)%mod;
		inc(t1[0],1);
		mtt(B,t1,len),clr(B,l,len);
	}
}
int main(){
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b3.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&K);
	int len=1;while(len<=K)len<<=1;
	int mx=max(n+K,len<<1);
	ny[1]=1;for(rg int i=2;i<=mx;++i)
		ny[i]=(ll)(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;
	for(rg int i=inv[0]=fac[0]=1;i<=n+K;++i){
		inv[i]=1ll*inv[i-1]*ny[i]%mod;
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	}
	for(rg int i=1;i<=n;++i)
	for(rg int j=1;j<=K/i;++j)dec(a[i*j],ny[j]);
	poly::init(len<<1);
	poly::exp(a,b,len);
	int ans=0;
	for(rg int i=0;i<=K;++i){
		inc(ans,1ll*b[i]*cal(n+K-i-1,K-i)%mod);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}//
//卡不过去．．．．
//20190704