CH 1402 - 后缀数组 - [字符串hash]

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描述

后缀数组 (SA) 是一种重要的数据结构，通常使用倍增或者DC3算法实现，这超出了我们的讨论范围。

在本题中，我们希望使用快排、Hash与二分实现一个简单的 $O(n \log^2 ⁡n )$ 的后缀数组求法。

详细地说，给定一个长度为 n 的字符串S（下标 0~n-1），我们可以用整数 k(0≤k<n) 表示字符串S的后缀 S(k~n-1)。

把字符串S的所有后缀按照字典序排列，排名为 i 的后缀记为 SA[i]。额外地，我们考虑排名为 i 的后缀与排名为 i-1 的后缀，把二者的最长公共前缀的长度记为 Height[i]。

我们的任务就是求出SA与Height这两个数组。

输入格式

一个字符串，长度不超过30万。

输出格式

第一行为数组SA，相邻两个整数用1个空格隔开。

第二行为数组Height，相邻两个整数用1个空格隔开，特别地，假设Height[1]=0。

样例输入

ponoiiipoi

样例输出

9 4 5 6 2 8 3 1 7 0
0 1 2 1 0 0 2 1 0 2

样例解释

排名第一（最小）的后缀是9（S[9~9]，即字符串 i），第二的是后缀4（S[4~9]，即字符串iiipoi），第三的是后缀5（S[5~9]，即字符串iipoi）以此类推。Height[2]表示排名第2与第1的后缀的最长公共前缀，长度为1，Height[3]表示排名第3与第2的后缀的最长公共前缀，长度为2，以此类推。

题解：

假设字符串长度为 $N$，那么如果用暴力的方式来比较两个后缀子串的字典序大小（以及求最长公共前缀的长度），显然一次比较是 $O\left( {N} \right)$ 的时间复杂度，

如果用快排对 $N$ 个后缀子串进行排序，那么就要 $O(N^2 \log N)$ 的时间复杂度，

我们尝试考虑优化的地方：比较两个字符串的时间，从 $O(N)$ 降到 $O(\log N)$，

对于两个后缀子串，或者更一般的，对于两个字符串，怎么更快速的比较字典序大小，或者，怎么更快速求的最长公共前缀？

容易想到，可以二分最长公共前缀的长度，用字符串哈希 $O(1)$ 判断是否两个前缀子串是否一样，

然后判断两个字符串中哪个字典序更大就很简单了，去掉最长公共前缀，比较一下剩下的第一个字符即可。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
 
const int P=;
const int maxn=+;
 
char s[maxn];
int len;
int sa[maxn],h[maxn];
 
ull pre[maxn],Ppow[maxn];
void pretreat()
{
    pre[]=;
    Ppow[]=;
    for(int i=;i<=len;i++)
    {
        pre[i]=pre[i-]*P+(s[i]-'a'+);
        Ppow[i]=Ppow[i-]*P;
    }
}
 
inline bool isSame(int l1,int r1,int l2,int r2)
{
    return pre[r1]-pre[l1-]*Ppow[r1-(l1-)] == pre[r2]-pre[l2-]*Ppow[r2-(l2-)];
}
inline int maxpre(int a,int b)
{
    int l=,r=min(len-a+,len-b+),mid;
    while(l<r)
    {
        mid=(l+r)/+;
        if(isSame(a,a+mid-,b,b+mid-)) l=mid;
        else r=mid-;
    }
    return l;
}
bool cmp(int a,int b)
{
    int mp=maxpre(a,b);
    return s[a+mp]<=s[b+mp];
}
 
int main()
{
    scanf("%s",s+);
    len=strlen(s+);
    pretreat();
    for(int i=;i<=len;i++) sa[i]=i;
    sort(sa+,sa+len+,cmp);
    for(int i=;i<=len;i++)
    {
        if(i==) h[i]=;
        else h[i]=maxpre(sa[i-],sa[i]);
        printf("%d%c",sa[i]-,i<len?' ':'\n');
    }
    for(int i=;i<=len;i++) printf("%d%c",h[i],i<len?' ':'\n');
}

1A开心

时间复杂度：

排序 $O(N \log^2 N)$，计算Height数组 $O(N \log N)$，总时间复杂度 $O(N \log^2 N)$。