【RAY TRACING THE REST OF YOUR LIFE 超详解】 光线追踪 3-7 混合概率密度

 Preface

注：鉴于很多网站随意爬取数据，可能导致内容残缺以及引用失效等问题，影响阅读，请认准原创网址：

https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/category/1368696.html

我们这节主要讲把之前的概率密度做混合，以得到更好的效果

我们上一篇以前经常用关于cos函数的pdf，上一节用的是与光源采样相关的pdf，那么，我们把两者结合到一起，协调它们之间的比例，我们就可以得到一个有着两种概率密度模型的pdf，这往往是更贴近生活的，那么我们今天就来学习测试一下。

 Ready

这一节就是把前几篇的概率密度做混合，所以，需要的就是熟悉之前的内容。

当然，之前的框架代码也比较丑，基本都是在lerp函数里面做调整，所以，我们顺便把框架搭得更好一点

 正文

我们都知道，设计pdf的一个很重要的原则就是使得累积概率密度达到且只达到1,所以，我们先采用一种非常简单的比例协调方式混合两个pdf。

例如我们有如下的混合密度方程

pdf_mixture(direction) = 1/2 * pdf_reflection(direction) + 1/2 * pdf_light(direction)

即，两者各占一半

要实现两者，代码描述也很简单：

if ( rand01() < 0.5 )
    pdf_reflection();  ...
else
    pdf_light();  ...

 

但是评估pdf_mixture会稍微有点微妙。 我们需要同时评估pdf_reflection和pdf_light，因为有一些方向可以生成pdf方向。 例如，我们可以使用pdf_reflection生成朝向光的方向

 

如果我们回顾之前的内容，你会发现，这一部分主要解决两个问题：

1.此处的pdf函数值

2.按照某个随机模型产生一个随机数

 

我们抽象出这些操作之后，就可以写一个关于我们的pdf的一个基类：

///pdf.hpp

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [ time ]        2019.3
// [brief ]        In the Monte Carlo system, pdf acts as the
//                most important element of Important-Sample
// -----------------------------------------------------

#pragma once

namespace rt
{

// the basic class of pdf system
class pdf
    {
public:
    /*
    @brief: we get the value of pdf function by this interface
    @param: the direction of location
    @retur: the value of the pdf function
    */
    virtual rtvar value(const rtvec & direction)const = ;

    /*
    @brief: generate a random number with a Probability model
    @param: none
    @retur: the Three-dimensional random vector
    */
    virtual rtvec generate()const = ;
    };

}//rt namespace

我们来实现关于它的一些子类

首先我们来实现关于cosine 概率密度的模型

///cosine_pdf.hpp

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [ time ]        2019.3
// [brief ]        one of the pdf' forms
// -----------------------------------------------------

#pragma once

namespace rt
{

class cosine_pdf :public pdf
    {
public:
    //constructor
    cosine_pdf(const rtvec& w);            

    /*
    @brief: we get the value of pdf function by this interface
    @param:    the direction of location
    @retur: the value of the pdf function
    */
    virtual rtvar value(const rtvec& direction)const;

    /*
    @brief: generate a random number with a Probability model
    @param: none
    @retur:    the Three-dimensional random vector
    */
    virtual rtvec generate()const;

private:

    onb _uvw;
    };

inline cosine_pdf::cosine_pdf(const rtvec& w)
    {
    _uvw.build_from_w(w);
    }

rtvar cosine_pdf::value(const rtvec& direction)const
    {
    rtvar cosine = dot(direction.ret_unitization(), _uvw.w());
    if (cosine > .)
        return cosine / π;
    else
        return .;
    }

rtvec cosine_pdf::generate()const
    {
    return _uvw.local(random_cosine_direction());
    }
}

这个模型之前细说过，cosine大于0的时候返回cosine/π，反之，则返回0。因为光线反射之后如果和表面法线的夹角为钝角的时候，违反反射规律，不以反射。生成随机数的那个之前也讲过，在上上一篇

其实这些都不是新东西，就是把之前讲的的那一套整合了一下

得到结果也就是之前的效果

我们把主函数里面的lerp（）也改一下

每个像素点采样100次，取均值，即sample 为 100时

这是代码敲错了，意外得到的一张图

现在我们尝试，光源采样，即

///hit_pdf.hpp

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [ time ]        2019.3
// [brief ]        toward to the hitable
// -----------------------------------------------------

#pragma once

namespace rt
{

class hit_pdf :public pdf
    {
public:

    /*
    @param: info -> Geometry information
            origion -> the point of intersection
    */
    hit_pdf(intersect* info, const rtvec& origion)
        :_intersectp(info)
        ,_o(origion)
    {
    }

    /*
    @brief: we get the value of pdf function by this interface
    @param:    the direction of location
    @retur: the value of the pdf function
    */
    virtual rtvar value(const rtvec& direction)const
        {
        return _intersectp->pdf_value(_o, direction);
        }

    /*
    @brief: generate a random number with a Probability model
    @param: none
    @retur:    the Three-dimensional random vector
    */
    virtual rtvec generate()const
        {
        return _intersectp->random(_o);
        }

private:

    rtvec _o;

    intersect * _intersectp;
    };

}// rt namespace

对应的intersect类也要改一下

/// intersect.hpp
//https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10190092.html
// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2018.12
// [refre ]        2019.3
// [brief ]        the intersect-class for the ray-tracing project
//                from the 《ray tracing in one week》
// -----------------------------------------------------

#pragma once

#include "E:\OpenGL\光线追踪\code\ray tracing 1-3\ray tracing 1-3\ray.hpp"

namespace rt
{
class material;
class aabb;

// the infomation of intersection point

struct hitInfo
    {
    lvgm::precision _t;        //ray 中的系数t
    rtvec _p;                //相交点、撞击点
    rtvec _n;                //_p点的表面法线
    material* _materialp;    //材质
    rtvar _u;                //texture-u
    rtvar _v;                //texture-v
    };

// the statement of intersect class

class intersect
    {
public:

    /*
    @brief: 撞击函数，求取撞击点相关记录信息
    @param: sight->视线
    系数t的上下界->筛选撞击点
    info->返回撞击点信息
    @retur: 是否存在合法撞击点
    */
    virtual bool hit(const ray& sight, rtvar t_min, rtvar t_max, hitInfo& info)const = ;

    /*
    @brief: get the box of Geometry
    */
    virtual aabb getbox()const = ;

    /*
    Get the value of pdf function
    */
    virtual rtvar pdf_value(const rtvec& o, const rtvec& v)const
        {
        return .;
        }

    /*
    generate the random number
    */
    virtual rtvec random(const rtvec& o)const
        {
        return rtvec(, , );
        }

    };

}// rt namespace

因为我们现在只是拿区域光源做实验，并不是所有的几何体派生类都要继承pdf相关的方法，所以，它们两个以虚函数的形式存在即可。

那么就剩下xz长方形了

rtvar xz_rect::pdf_value(const rtvec& o, const rtvec& v)const
    {
    hitInfo rec;
    if (this->hit(ray(o, v), 1e-, rt::rtInf(), rec))
        {
        rtvar area = (_x2 - _x1)*(_z2 - _z1);
        rtvar distance_squared = rec._t * rec._t * v.squar();
        rtvar cosine = fabs(dot(v, rec._n) / v.normal());
        return distance_squared / (cosine*area);
        }
    else
        return .;
    }

rtvec xz_rect::random(const rtvec& o)const
    {
    rtvec random_point = rtvec(_x1 + lvgm::rand01() * (_x2 - _x1), _other, _z1 + lvgm::rand01()*(_z2 - _z1));
    return random_point - o;
    }

把上一篇写在lerp函数里面的一大堆东西整合到类里面

那么我们的lerp就统一化了：

我们取sample为10，即可得到很好的效果：

现在我们将写一个关于混合概率密度的类：

///mixture_pdf.hpp

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [ time ]        2019.3
// [brief ]        mixture pdfs
// -----------------------------------------------------

#pragma once

namespace rt
{

class mixture_pdf :public pdf
    {
public:

    mixture_pdf(pdf * p1, pdf* p2)
        {
        _p[] = p1;
        _p[1] = p2;
        }

    /*
    @brief: we get the value of pdf function by this interface
    @param:    the direction of location
    @retur: the value of the pdf function
    */
    virtual rtvar value(const rtvec& direction)const
        {
        return 0.5*_p[]->value(direction) + 0.5*_p[]->value(direction);
        }

    /*
    @brief: generate a random number with a Probability model
    @param: none
    @retur:    the Three-dimensional random vector
    */
    virtual rtvec generate()const
        {
        if (lvgm::rand01() < 0.5)
            return _p[]->generate();
        else
            return _p[]->generate();
        }

private:

    pdf* _p[];

    };

}// rt namespace

我们的lerp函数如下：

我们采样10次得到：

但是觉得效果不是很理想，我们来做一些测试

1. pdf 方程修改为 mixture_pdf = 1/3 * hit_pdf + 2/3  * cosine_pdf

2. pdf 方程修改为 mixture_pdf = 2/3 * hit_pdf + 1/3  * cosine_pdf

3. random修改  2/3 取 hit_pdf产生的随机值， 1/3 取 cosine_pdf 产生的随机值

4. random修改  1/3 取 hit_pdf产生的随机值， 2/3 取 cosine_pdf 产生的随机值

我们去上述方案的3、1，即：

得到图：

这张图显然比均分的效果要好

这里我们看不出到底是random起作用还是value，我们不妨取2、3组合

3把2的彩色噪声消除了些，但是这张图和原始的均分图差不多一样

所以结论，random和value的比例交叉比较好

我们采样1000次得到：

渲染中。。。。（就是清晰了点）

/***********************************************************************************/

跑了一晚上爬起来发现除零错误了，又抽空跑完了

/************************************************************************************/

本书第九章（下一章）介绍了一些关于当前渲染器的看法

作者在描述阴影光线和混合密度设计时，作者个人更偏向于混合密度设计，所以并没有在渲染器中采用阴影光线

作者描述了关于lerp函数中内存问题以及编码的不足

作者描述了关于玻璃材质和镜面的一些处理方法

作者还描述了关于HDR的0~1浮点表示以及RGB分组的0~255表示，还说明了这个渲染器是RGB的且基于物理的，还有一种是基于光谱的，以及两者结合的，但做起来很难，所以我们坚持RGB且基于物理的渲染器。

感谢您的阅读，生活愉快~