2019牛客多校第一场H XOR 线性基模板

H XOR

题意

给出一组数，求所有满足异或和为0的子集的长度和

分析

n为1e5，所以枚举子集肯定是不可行的，这种时候我们通常要转化成求每一个数的贡献，对于一组数异或和为0.我们考虑使用线性基，对这一组数求线性基，设基的长度为r,由线性代数的知识我们可以知道，在这个数组中取一个数，这个线性基有唯一一种组成方式使得异或这个数为0。所以对于不在线性基的每一个数，他可以组成的子集个数为\(2^{n-r-1}\)，所以所有不构成线性基的数的贡献为\((n-r)*2^{n-r-1}\)，那么对于在线性基里的数怎么办呢？,这就转化成了用剩下的n-1个数能不能表示出这个数，有多少种表示这个数的方式,我们可以对剩下的n-r的数再求一次基，如何才能表示出这个数呢，由线性定理只是可以知道，同一个组数的线性基可以不同，但他们秩是相同的，而要表示的这个数在一个线性基里面，所以要表示他，我们对于剩下的数，如果秩还是r，就可以表示,那么这个数就可以和n-1-r个数组成子集贡献就是\(2^{n-r-1}\),否则贡献就是0了

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef  long long  UI;
const int maxn=1e5+9;
int vis[maxn];
UI a[maxn];
const int mod=1e9+7;
ll mul(ll a,ll b){
    return a%mod*b%mod;
}
ll fpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=mul(ans,a);
        b>>=1;
        a=mul(a,a);
    }
    return ans;
}
#define weishu 62
UI x[weishu+1];
struct LinearBasis{
    UI basis[weishu+1];//32位
    int num;
    int cnt;//极大无关组大小
    void clear(){ memset(basis,0,sizeof(basis)); num=0;cnt=0; }//清零
    void insert(UI x){ basis[num++]=x; }//单纯存数组，没有插入线性基
    bool d_insert(UI x){//直接插入线性基
        bool flag=0;
           for(int j=weishu;j>=0;j--)
            if ((x>>j)&1) {
                if (basis[j]==0) {
                    cnt++;
                    basis[j]=x;
                    return 1;
                }
                else {
                    x^=basis[j];
                }
        }
           return 0;
    }
    void build(){//用数组里面存的数生成线性基
        cnt=0;
        num--;
        for(int i=0;i<=num;i++) x[i]=basis[i];
        memset(basis,0,sizeof(basis));
       for(int i=0;i<=num;i++)  {
           for(int j=weishu;j>=0;j--)
            if ((x[i]>>j)&1) {
                if (basis[j]==0) {
                    cnt++;
                    basis[j]=x[i];
                    break;
                }
                else {
                    x[i]^=basis[j];
                }
            }
        }
        num=0;
    }
    int check(UI x){//判断一个数在不在线性基中
       for(int i=weishu;i>=0;i--)
        if ((x>>i)&1) {
            if (basis[i]==0) break;
            else x^=basis[i];
        }
        return (x==0);
    }
}bs,bs2;
vector<int>v;
int main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n)==1){
        v.clear();
        bs.clear(),bs2.clear();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            vis[i]=0;
            scanf("%lld",&a[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(bs.d_insert(a[i])){
                v.push_back(i);
                vis[i]=1;
            }
        }
        ll r=bs.cnt;
        ll ans=mul(n-bs.cnt,fpow(2,n-bs.cnt-1));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(vis[i]==0){
                    bs2.d_insert(a[i]);
            }
        }
        for(int i=0;i<v.size();i++){
            bs=bs2;
            for(int j=0;j<v.size();j++){
                if(i!=j){
                    bs.d_insert(a[v[j]]);
                }
            }
            if(bs.cnt==r)ans+=fpow(2,n-1-r);
        }
        ans%=mod;
        printf("%lld\n",ans);

    }
    return 0;
}