数位DP 学习笔记

前言：鸣谢https://www.luogu.com.cn/blog/virus2017/shuweidp。感谢大佬orz

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【引入】

首先要明白数位DP解决的是什么问题。

问题：求出在$[L,R]$内满足条件$f(i)$的$i$的个数。$f(i)$一般不与数的大小有关，而是与数的组成有关。（数的大小对复杂度的影响很小）

【设计搜索】

数位DP一般都用记忆化搜索来实现。

一、记搜过程

从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层一层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终答案。

对于$[l,r]$区间问题，我们一般把他转化为两次数位dp,即找$[0,r]$和$[0,l-1]$两段，再将结果相减就得到了我们需要的$[l,r]$。

二、状态设计

问：$dfs$函数需要哪些参量？

1.首先是记录位置的$pos$，记录答案的$st$，最高位限制$limit$。

2.判断前导0的标记$lead$。

3.因为数位DP一般与数的组成有关，所以当前位可能要与前几位进行比较。所以要设置$pre$用来表示前几位。

4.有可能会有其他参量，依据题意而定。

数位DP中能记录的状态最好都记录下来。

【细节分析】

一、前导0标记$lead$

例如，寻找$[0,1000]$内任意相邻两数相等的数。

由题意得：$111,222,888$等都符合题意。但右端点$1000$是四位数，因此我们要从$0000$开始搜，那么$0000$符合题意但$0111,0222,0888$都不符合题意了。

所以我们要加一个前导0标记。

　　1.如果当前位是0并且前导0标记$lead$是1，那么$pos+1$继续深搜。

　　2.如果前导0标记是1但当前位不是0，那么此位作为最高位继续深搜（注意此时传递参量可能发生变化）。

当然有时候前导0是不需要记录的，因题而异。如果是研究数字组成的话一般就不用标记前导0。

二、最高位标记$limit$

例如，在搜索$[0,555]$时，显然最高位搜索范围是$[0,5]$，而后面的搜索根据最高位搜索发生变化：

　　1.当最高位是$[1,4]$时，显然后面范围是$[0,9]$。

　　2.当最高位是$5$时，第二位的范围是$[0,5]$。

为了区分两种情况：我们引入$limit$标记：

　　1.当前位$limit=1$且取到最高位时，下一位$limit=1$。

　　2.当前位$limit=1$但没有取到最高位时，下一位$limit=0$。

　　3.当前位$limit=0$，则下一位$limit=0$。

我们设这一位标记是$limit$，能取到的最高位是$res$，那么下一位的标记就是(i==res)$$limit。

三、DP值的记录与使用

DP数组下标记录的是状态，所以如果当前状态和之前搜过的状态完全一样，我们就可以不用继续深搜，直接返回值即可。

举个例子：

假如我们搜索$[0,123456]$中符合条件的数。

现在搜到了$1000??$，我们记录下来了当前位是第五位，且前一位是0的值。

下一次，我们搜到了$1010??$，我们可以不用再深搜，直接返回之前搜过的值即可。

但是！！！！！

假如现在我们搜到了$1234??$我们可不可以返回当前位是第五位，且前一位是4的值？

当然不行。因为之前的值第五位取值范围是$[0,9]$，而现在取值范围是$[0,5]$，答案数显然不一样，不能混为一谈。

联系之前的知识，我们很容易想到：此时$limit=1$。

因此我们得到一个结论：当$limit=1$时，不能记录和取用DP值。

同样，当$lead=1$时，不能记录和取用DP值。

当然，这还是要看具体题意的。在使用DP数组的过程中也可以把所有状态记录下来，就没有那么多麻烦事了……

【模板】

ll dfs(int pos,int pre,int st,……,int lead,int limit)//记搜
{
    if(pos>len) return st;//剪枝
    if((dp[pos][pre][st]……[……]!=-&&(!limit)&&(!lead))) return dp[pos][pre][st]……[……];//记录当前值
    ll ret=;//暂时记录当前方案数
    int res=limit?a[len-pos+]:;//res当前位能取到的最大值
    for(int i=;i<=res;i++)
    {
        //有前导0并且当前位也是前导0
        if((!i)&&lead) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
        //有前导0但当前位不是前导0，当前位就是最高位
        else if(i&&lead) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
        else if(根据题意而定的判断) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
    }
    if(!limit&&!lead) dp[pos][pre][st]……[……]=ret;//当前状态方案数记录
    return ret;
}
ll part(ll x)//把数按位拆分
{
    len=;
    while(x) a[++len]=x%,x/=;
    memset(dp,-,sizeof dp);//初始化-1（因为有可能某些情况下的方案数是0）
    return dfs(……,……,……,……);//进入记搜
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&l,&r);
        if(l) printf("%lld",part(r)-part(l-));//[l,r](l!=0)
        else printf("%lld",part(r)-part(l));//从0开始要特判
    }
    return ;
}

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题目难度按照次序。T5比较难，思维题。

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后记：我再也不说数位DP是板子题这种话了QAQ