CF Gym101933K King's Colors

题目分析

题目要求在树上涂上恰好\(K\)种颜色的方案数。

设\(f(k)\)表示恰好涂上\(k\)种颜色的方案数（答案即为\(f(K)\)）。

设\(g(k)\)表示至多涂上\(k\)种颜色的方案数。

显然有：\(g(k)=\sum\limits_{i=1}^k\dbinom{k}{i}f(i)\)

那么二项式反演后：\(f(k)=\sum\limits_{i=1}^k(-1)^{k-i}\dbinom{k}{i}g(i)\)

考虑如何求\(g(i)\)。

如果是序列上的问题，显然就是\(i*(i-1)^{n-1}\)，那么树上呢？

考虑一个节点是否有父节点，有则乘上\((i-1)\)，否则乘上\(i\)，与序列同理。

那么答案就是\(\sum\limits_{i=1}^K(-1)^{K-i}\binom{K}{i}i*(i-1)^{n-1}\)

就做完啦。