「日常训练」COMMON 约数研究（HYSBZ-1968）

题意与分析

感谢https://www.cnblogs.com/Leohh/p/7512960.html的题解。这题话说原来不在我的训练范围，正好有个同学问我，我就拿来做做。数学果然不是我擅长的啊，这么简单我都不会。。。
简单说下自己的理解。
从原题出发容易得到的朴素算法容易超时，所以要想到转化问题。原题要求1~n的因数之和，反过来说，就是求1~n中有几个数分别是1、2、…、n的倍数。这个弯子转过来，题目就容易写了。直接变成O(n)算法。

有趣的是，如果数据规模变为$10^{12}$，这道题该如何写呢？前面O(n)算法时，得到的式子是∑ni=1⌊ni⌋∑i=1n⌊ni⌋。容易发现，⌊ni⌋⌊ni⌋会对若干个连续的i相等。这个相等的i的区间是什么呢？考虑$n=ki+p$，p若想最接近0，k应当为⌊ni⌋⌊ni⌋，此时的imaximax即为⌊n⌊ni⌋⌋⌊n⌊ni⌋⌋。那么，直接让下个i变为imax+1imax+1即可。这段区间对答案的贡献是$(i_{max}−i_{origin}+1)∗k$。可以证明，这样的算法的复杂度是不同的$floor(n/i)$的个数，也就是$sqrt(n)$。

代码

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #define MP make_pair
 #define PB push_back
 #define fi first
 #define se second
 #define ZERO(x) memset((x), 0, sizeof(x))
 #define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
 #define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
 #define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
 #define QUICKIO                  \
     ios::sync_with_stdio(false); \
     cin.tie();                  \
     cout.tie();
 using namespace std;

 template<typename T>
 T
 read()
 {
     T tmp; cin>>tmp;
     return tmp;
 }
 int ans[];
 int
 main()
 {
     ZERO(ans);
     int n, tot=; cin>>n;
     rep(i, , n)
     {
         tot+=n/i;
     }
     cout<<tot<<endl;
     return ;
 }

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