JZOJ.5236【NOIP2017模拟8.7】利普希茨
Description
Input
第一行一个整数n。
接下来一行n个整数,描述序列A。
第三行一个数q 。
接下来q行,每行三个整数。其中第一个整数type表示操作的类型。 type=0对应修改操作, type=1对应查询操作。
Output
对于每个查询,给出f(A[l..r]) 。
Sample Input
- 输入1:
- 6
- 90 50 78 0 96 20
- 6
- 0 1 35
- 1 1 4
- 0 1 67
- 0 4 11
- 0 3 96
- 1 3 5
- 输入2:
- 50
- 544 944 200 704 400 150 8 964 666 596 850 608 452 103 988 760 370 723 350 862 856 0 724 544 668 891 575 448 16 613 952 745 990 459 740 960 752 194 335 575 525 12 618 80 618 224 240 600 562 283
- 10
- 1 6 6
- 1 1 3
- 0 11 78279
- 0 33 42738
- 0 45 67270
- 1 1 26
- 1 19 24
- 1 37 39
- 1 8 13
- 0 7 64428
Sample Output
- 输出1:
- 78
- 85
- 输出2:
- 0
- 744
- 77683
- 856
- 558
- 77683
Data Constraint
对于60%的数据,n,q<=5000
对于100%的数据,n,q<=100000,0<=ai,val<=10^9
这里有一个结论:f(A)的最大值是相邻的两点的差值。
我们可以设想一下,一个区间被里面min和max分成了三段,其中i=min,j=max,那么设对应的f(A)的值为a,
那么我们可以枚举里面的左端点i右端点j来计算f(A)的值与a比较
首先很肯定的一点 区间[i,j]不能跨过min和max,那么我们会对这三段区间不断细分,到最后也就只剩下相邻的两个点了,此时就是最大值和最小值(这个似乎不能证明)
还有个几何证明:f(A)可以看成一个斜率的绝对值,那么对于坐标上的三个点a,b,c来说,它们三点确定的直线中,很显然横坐标越靠近的两个点斜率会越大
(转自mcw的证明)令$\Delta_i=A_{i+1}-A_i$,则$\left\lceil\frac{|A_j-A_i|}{j-i}\right\rceil=\left\lceil\frac{|\sum_{k=i}^{j-1}\Delta_k|}{j-i}\right\rceil=\overline{\Delta_{i\,..\,j-1}}$,显然会有$\Delta_i\,..\,\Delta_{j-1}$中的一项大于等于$\overline{\Delta_{i\,..\,j-1}}$
所以这题就变成了维护差值的修改和最值了,线段树就可以了。
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- #include<algorithm>
- #include<cstdlib>
- #include<cmath>
- using namespace std;
- int maxx[],n,q,a[],x,l,r,d[];
- void buildtree(int root,int l,int r){
- if (l==r) {maxx[root]=d[l]; return;}
- int mid=(l+r)>>;
- buildtree(root<<,l,mid);
- buildtree(root<<|,mid+,r);
- maxx[root]=max(abs(maxx[root<<]),abs(maxx[root<<|]));
- }
- void change(int root,int l,int r,int x,int c){
- if (l==r){
- maxx[root]+=c;
- return;
- }
- int mid=(l+r)>>;
- if (x<=mid) change(root<<,l,mid,x,c);
- if (x>mid) change(root<<|,mid+,r,x,c);
- maxx[root]=max(abs(maxx[root<<]),abs(maxx[root<<|]));
- }
- int get(int root,int l,int r,int x,int y){
- if ((x<=l)&&(y>=r)) return abs(maxx[root]);
- int ans=;
- int mid=(l+r)>>;
- if (x<=mid) ans=max(ans,get(root<<,l,mid,x,y));
- if (y>mid) ans=max(ans,get(root<<|,mid+,r,x,y));
- return ans;
- }
- int main(){
- freopen("lipschitz.in","r",stdin);
- freopen("lipschitz.out","w",stdout);
- scanf("%d",&n);
- for (int i=;i<=n;i++){
- scanf("%d",&a[i]);
- d[i]=a[i]-a[i-];
- }
- buildtree(,,n);
- scanf("%d",&q);
- while (q--){
- scanf("%d%d%d",&x,&l,&r);
- if (x==) {change(,,n,l,r-a[l]);change(,,n,l+,-r+a[l]); a[l]=r;}
- if (x==) printf("%d\n",get(,,n,l+,r));
- }
- return ;
- }
神奇的代码
数学很重要
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