数学公式 Latex 练习

\[1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}\quad x\in(-1, 1)
\]

证明：设左边式子项数为 \(n\) 那么可以得到：

\[\begin{split}
S &= 1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots+x^{n-1}+x^n\\
xS&=x + x^2+x^3+x^4+\cdots+x^n+x^{n+1}\\
\end{split}\\
(x-1)S=x^{n+1} - 1\\
S=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\\
\because x \in (-1, 1)\quad n\rightarrow \infty\\
\therefore x^{n+1} \rightarrow 0\quad S \rightarrow \frac{1}{1-x}
\]

同理

\[1+x^2+x^4+x^6+\cdots=\frac{1}{1-x^2}\quad x\in(-1, 1)
\]

同时我们可以发现：

\[1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=(1+x+x^2+x^3+\cdots)\times (1+x+x^2+x^3+\cdots)\\
\therefore 1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=\frac{1}{(1-x)^2}\quad x\in(-1, 1)
\]

所以公式是 ：

\[\sum_{i=1}^\infty C_{i+k-1}^{k-1}x^i = \frac{1}{(1-x)^k}
\]