【雅礼集训 2017 Day2】棋盘游戏

loj 6033

description

给一个\(n*m\)的棋盘，'.'为可通行，'#'为障碍。Alice选择一个起始点，Bob先手从该点往四个方向走一步，Alice再走，不能走走过的点，谁不能动谁就输了。

问Alice选择哪些出发点能赢。

solution

棋盘黑白染色

分类后建二分图

1.Alice选择关键匹配点(所有的最大匹配都包含该点)，Bob赢。

2.否则，Alice选择(含不包含该点的匹配），Alice赢。

证明：如果为2的话（假如Alice选的起点为S），存在一个最大匹配是不包含S的，所以对于该匹配Bob所到的一定是匹配点，接着Alice一直走非匹配点，Bob只能走到匹配点……

最后一定结束在匹配点，否则会有新的增广路。

做法肯定能想到暴力删每个点跑一次，判断是否为关键匹配点。

不过复杂度太爆炸，因此先跑一次最大流得到匹配边。其中没有被选的点已经确定为非关键匹配点了，它所连出的边（非匹配边）所到的另一个集合的点再回到它所在的集合中的匹配点，那这个匹配点一定是非关键匹配点（因为可以由它替换）。这个利用dfS配残量len=1就可以判断，记得从\(t\)搜的时候要判反边的len。

code

戳我

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
const int M=1e6+5;
const int inf=1e9;
char mp[N][N];
int n,m,dir[5][2]={{0,-1},{0,1},{1,0},{-1,0}};
int s,t,dis[M],gap[M],id[N][N],nxt[M],to[M],head[M],len[M],ecnt=1;
bool vis[M];
void add_edge(int u,int v,int z) {
	nxt[++ecnt]=head[u];to[ecnt]=v;len[ecnt]=z;head[u]=ecnt;
	nxt[++ecnt]=head[v];to[ecnt]=u;len[ecnt]=0;head[v]=ecnt;
}
queue<int> Q;
void BFS() {
	for(int i=s;i<=t;i++) dis[i]=-1;
	Q.push(t);gap[dis[t]=0]++;
	while(!Q.empty()) {
		int u=Q.front(); Q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
			int v=to[i];
			if(dis[v]!=-1)continue;
			gap[dis[v]=dis[u]+1]++;Q.push(v);
		}
	}
}
int dfs(int u,int flow) {
	if(u==t) return flow;
	int used=0;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
		int v=to[i];
		if(len[i]&&dis[u]==dis[v]+1) {
			int tmp=dfs(v,min(len[i],flow-used));
			if(tmp) {len[i]-=tmp;len[i^1]+=tmp;used+=tmp;}
            if(used==flow)return used;
		}
	}
	--gap[dis[u]];
	if(!gap[dis[u]]) dis[s]=t;
	dis[u]++,gap[dis[u]]++;
    return used;
}
int mxflow=0;
void ISAP() {
	for(BFS();dis[s]<t;mxflow+=dfs(s,inf));
}
void Build() {
	int tc=0;
	s=0;t=n*m+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)id[i][j]=++tc;
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) {
		if(((i+j)&1)&&mp[i][j]=='.') {
			for(int d=0;d<4;d++) {
				int x=i+dir[d][0],y=j+dir[d][1];
				if(id[x][y]&&mp[x][y]=='.')add_edge(id[i][j],id[x][y],1);
			}
			add_edge(s,id[i][j],1);
		}
		else add_edge(id[i][j],t,1);
	}
}
void dfs1(int u) {
	vis[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]&&len[i]) dfs1(to[i]);
}
void dfs2(int u) {
	vis[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]&&len[i^1]) dfs2(to[i]);
}
bool ans[N][N];
void solve() {
	ISAP();dfs1(s);
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) {
		if(((i+j)&1)&&vis[id[i][j]]&&mp[i][j]=='.') {ans[i][j]=1;cnt++;}
		vis[id[i][j]]=0;
	}
	dfs2(t);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) {
		if((i+j)&1)continue;
		if(mp[i][j]=='.'&&vis[id[i][j]]) {ans[i][j]=1;cnt++;}
	}
	printf("%d\n",cnt);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) {
		if(ans[i][j]) printf("%d %d\n",i,j);
	}
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",mp[i]+1);
	Build();
	solve();
	return 0;
}

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