HDU 1452 Happy 2004（因子和的积性函数）

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题意 ： 给你一个X，让你求出2004的X次方的所有因子之和，然后对29取余。

思路 ： 原来这就是积性函数，点这里这里这里，这里讲得很详细。

在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。　　

在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。

若对于某积性函数 f(n)，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);

如果p是素数 ： s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1)-----其实就是等比数列求和公式 (1)

再看本题 ：

计算因子和 s(2004^X) mod 29 ,

2004=2^2 *3 *167

2004^X=4^X * 3^X *167^X

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X))) 而 167%29=22

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))

a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1) //根据（1）

b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //根据（1）

c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根据（1）

%运算法则 

1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p) 乘法的

2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) 除法的

s(2004^X)=（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2  *(22^(X+1)-1)/21

(a*b)/c %M= a%M* b%M  * inv(c)

c*inv(c)=1 %M    模为1的所有数  inv（c）为最小可以被c整除的

inv(2)=15,  inv(21)=18    2*15=1 mod 29, 18*21=1 mod 29

s(2004^X)=（（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2  *(22^(X+1)-1)/21）mod 29  =（（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)*15 *(22^(X+1)-1)*18）mod29

b^(-1)是 b的逆元素（%p）即上面的inv

2的逆元素是15  ，因为2*15=30 % 29=1 % 29

21的逆元素是18  ，因为21*18=378% 29 =1 % 29

因此

a=（powi(2,2*x+1,29)-1）% 29;

b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 % 29;

c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 % 29;

ans=（a*b）% 29*c % 29;

 //
 #include <stdio.h>
 #include <math.h>
 #include <iostream>
 
 using namespace std ;
 
 int multimod(int a,int n)//乘方模
 {
     int res =  ;
     while(n)
     {
         if(n & )
         {
             res *= a ;
             res %=  ;
         }
         a *= a ;
         a %=  ;
         n >>=  ;
     }
     return res ;
 }
 int main()
 {
     int x ;
     while(~scanf("%d",&x))
     {
         if(x == ) break ;
         int a = (multimod(,*x+)-) ;
         int b = (multimod(,x+)-)* ;
         int c = (multimod(,x+)-)* ;
         printf("%d\n",(a*b*c)%) ;
     }
     return  ;
 }