题目描述

JYY 带队参加了若干场ACM/ICPC 比赛,带回了许多土特产,要分给实验室的同学们。
JYY 想知道,把这些特产分给N 个同学,一共有多少种不同的分法?当然,JYY 不希望任何一个同学因为没有拿到特产而感到失落,所以每个同学都必须至少分得一个特产。
例如,JYY 带来了2 袋麻花和1 袋包子,分给A 和B 两位同学,那么共有4 种不同的分配方法:
A:麻花,B:麻花、包子
A:麻花、麻花,B:包子
A:包子,B:麻花、麻花
A:麻花、包子,B:麻花

输入

输入数据第一行是同学的数量N 和特产的数量M。
第二行包含M 个整数,表示每一种特产的数量。
N, M 不超过1000,每一种特产的数量不超过1000

输出

输出一行,不同分配方案的总数。由于输出结果可能非常巨大,你只需要输出最终结果 MOD 1,000,000,007 的数值就可以了。

样例输入

5 4
1 3 3 5

样例输出

384835


题解

容斥原理+组合数学

由于“每个同学都必须至少分得一个特产”这个限制比较难处理,所以我们可以考虑容斥,用 没有限制-至少1个人没分到+至少2个人没分到-... 得到答案。

考虑如果i个人没分到该怎么处理:n个人选出i个不分,方案数为$C_n^i$;对于每种特产,分给$(n-i)$个同学,相当于把$n-i$个数分成$k$段,每段可以为空,方案数为$C_{n-i+k-1}^{k-1}$。

故最终答案为$\sum\limits_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_n^i\sum\limits_{j=1}^mC_{n-i+a[j]-1}^{k-1}$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 2010
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1000000007;
ll c[N][N];
int w[N];
int main()
{
int n , m , i , j;
ll ans = 0 , tmp;
for(i = 0 ; i <= 2000 ; i ++ )
{
c[i][0] = 1;
for(j = 1 ; j <= i ; j ++ )
c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
}
scanf("%d%d" , &n , &m);
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d" , &w[i]);
for(i = 0 ; i < n ; i ++ )
{
tmp = c[n][i];
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
tmp = tmp * c[w[j] + n - i - 1][w[j]] % mod;
if(i & 1) ans = (ans - tmp + mod) % mod;
else ans = (ans + tmp) % mod;
}
printf("%lld\n" , ans);
return 0;
}

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