一、素数的概念
质数(prime number)又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数(质数)整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数
根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2

二、算法
算法1. 
开根号法:如果一个数(>2),对这个数求平方根,如果这个数能被这个数的平方根到2之间的任何一个(只要有一个就行)整除说明就不是质数,如果不能就说明是质数!
原理:假如一个数N是合数,它有一个约数a,a×b=N,则a、b两个数中必有一个大于或等于根号N,一个小于或等于根号N。因此,只要小于或等于根号N的数(1除外)不能整除N,则N一定是素数。
  1. public void zhishu(int num) {
  2. int i, j, k;
  3. for (i = 2; i < num; i++) {
  4. k = (int) Math.sqrt(i);
  5. for (j = 2; j <= k; j++) {
  6. if(i%j==0){
  7. break;
  8. }
  9. }
  10. if (j>k) {
  11. System.out.println("素数: "+i);
  12. }
  13. }
  14. }

算法2.埃拉托斯特尼素数筛选法


要得到自然数n以内的全部素数,必须把不大于

的所有素数的倍数剔除,剩下的就是素数。

给出要筛数值的范围n,找出以内的素数。先用2去筛,即把2留下,把2的倍数剔除掉;再用下一个质数,也就是3筛,把3留下,把3的倍数剔除掉;接下去用下一个质数5筛,把5留下,把5的倍数剔除掉;不断重复下去......。
步骤
详细列出算法如下:
  1. 列出2以后的所有序列:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  2. 标出序列中的第一个素数,也就是2,序列变成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  3. 将剩下序列中,划掉2的倍数,序列变成:
    • 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
  4. 如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方,那么剩下的序列中所有的数都是素数,否则回到第二步。
  5. 本例中,因为25大于2的平方,我们返回第二步:
  6. 剩下的序列中第一个素数是3,将主序列中3的倍数划掉,主序列变成:
    • 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25
  7. 我们得到的素数有:2,3
  8. 25仍然大于3的平方,所以我们还要返回第二步:
  9. 现在序列中第一个素数是5,同样将序列中5的倍数划掉,主序列成了:
    • 2 3 5 7 11 13 17 19 23
  10. 我们得到的素数有:2,3,5 。
  11. 因为23小于5的平方,跳出循环.
结论:2到25之间的素数是:2 3 5 7 11 13 17 19 23。

下面代码摘自网络
  1. public static void getPrimes(int n) {
  2. if (n < 2 || n > 9999999) // 之所以限制最大值为9999999万,是因为JVM内存限制,当然有其他灵活方案可以绕过(比如位图法)
  3. throw new IllegalArgumentException("输入参数n错误!");
  4.  
  5. int[] array = new int[n]; // 假设初始所有数都是素数,且某个数是素数,则其值为0;比如第一个数为素数那么array[0]为0
  6. array[0] = 1; // 0不是素数
  7. array[1] = 1; // 1不是素数
  8. // 下面是筛选核心过程
  9. for (int i = 2; i < Math.sqrt(n); i++) { // 从最小素数2开始
  10. if (array[i] == 0) {
  11. for (int j = i * i; j < n; j += i) {
  12. array[j] = 1; // 标识该位置为非素数
  13. }
  14. }
  15. }
  16.  
  17. // 打印n以内的所有素数,每排10个输出
  18. System.out.println(n + "以内的素数如下: ");
  19. int count = 0; // 当前已经输出的素数个数
  20. int rowLength = 10; // 每行输出的素数个数
  21. for (int i = 0; i < array.length; i++) {
  22. if (array[i] == 0) {
  23. if (count % rowLength == 0 && count != 0) {
  24. System.out.println();
  25. }
  26. count++;
  27.  
  28. System.out.print(i + "\t");
  29. }
  30. }
  31. }

用以上两个算法求9999999的所有素数

开根号法用时:21507毫秒
埃拉托斯特尼素数筛选法用时: 6658毫秒



关于算法,以下几个用C实现的先mark下来。






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