洛谷P3158 [CQOI2011]放棋子 组合数学+DP

题意：在一个m行n列的棋盘里放一些彩色的棋子，使得每个格子最多放一个棋子，且不同颜色的棋子不能在同一行或者同一列。有多少祌方法？

解法：这道题不会做，太菜了qwq。题解是看洛谷大佬的。

设C是组合数，f[i][j][k]:代表前k种棋子合法地恰好占领i行j列

那么得到状态转移方程：f[i][j][k]=sigma f[ki][kj][k-1] * C[n-ki][i-ki] * C[m-kj][j-kj] * a[k]个棋子恰好占领i-ki行j-kj列的方案数。 这个式子的意思是我们枚举前k-1种棋子的占领情况是行占领ki行列占领kj列，那么第k种棋子就能占领i-ki行j-kj列，我们选出这i-ki/j-kj之后乘上通知颜色棋子a[k]个占领这i-ki/j-kj的方案数。

我们发现前面都都比较好算，唯独 a[k]个棋子恰好占领i-ki行j-kj列的方案数 这一项难算。

那么我们就考虑单独先预处理出这一项，设g[i][j][k]:代表k个同色棋子恰好占领了i行j列 ；

那么写出状态转移方程：g[i][j][k]=C[i*j][k] - sigma g[ki][kj][k] * C[i][i-ki] * C[j][j-kj] ；式子的意思是总的方案数减去不合法方案数，即同样是k个棋子却没有占满i行j列。

那么我们预处理出C数组和g数组，就可以获得AC了。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N=+;
 const int P=1e9+;
 typedef long long LL;
 int n,m,c,a[N];
 int C[N*][N*],f[N][N][N*],g[N][N][N*];
 //g[i][j][k]:代表k个同色棋子恰好占领了i行j列
 //f[i][j][k]:代表前k种棋子合法地恰好占领i行j列 

 void prework() {
     for (int i=;i<=;i++)
         for (int j=;j<=;j++)
             if (j== || i==j) C[i][j]=;
             else C[i][j]=(C[i-][j-]+C[i-][j])%P;
 }

 int main()
 {
     cin>>n>>m>>c;
     int sum=;
     for (int i=;i<=c;i++) scanf("%d",&a[i]),sum+=a[i];
     prework();

     for (int i=;i<=n;i++)
         for (int j=;j<=m;j++)
             for (int k=;k<=sum;k++) {
                 if (i*j<k) continue;
                 g[i][j][k]=C[i*j][k];
                 for (int ki=;ki<=i;ki++)
                 for (int kj=;kj<=j;kj++)
                     if (ki!=i || kj!=j)    g[i][j][k]=(g[i][j][k]-(LL)g[ki][kj][k]*C[i][ki]%P*C[j][kj]%P)%P;
                 g[i][j][k]=(g[i][j][k]%P+P)%P;
             }

     LL ans=;
     f[][][]=;
     for (int i=;i<=n;i++)
         for (int j=;j<=m;j++)
             for (int k=;k<=c;k++) {
                 for (int ki=;ki<=i;ki++)
                 for (int kj=;kj<=j;kj++)
                     if ((i-ki)*(j-kj)>=a[k])
                     f[i][j][k]=(f[i][j][k]+(LL)f[ki][kj][k-]*C[n-ki][i-ki]%P*C[m-kj][j-kj]%P*g[i-ki][j-kj][a[k]]%P)%P;
                 if (k==c) ans=(ans+f[i][j][k])%P;
             }
     cout<<ans<<endl;
     return ;
 }