tarjan算法应用 割点 桥 双连通分量

tarjan算法的应用。

还需多练习…….遇上题目还是容易傻住

对于tarjan算法中使用到的Dfn和Low数组.

low[u]:=min(low[u],dfn[v])——(u,v)为后向边，v不是u的子树；

low[u]:=min(low[u],low[v])——(u,v)为树枝边，v为u的子树；

1.求割点：

割点：若删掉某点后，原连通图分裂为多个子图，则称该点为割点。

原理：若low[v]>=dfn[u],则u为割点。因low[v]>=dfn[u]，则说明v通过子孙无法到达u的祖先。那么对于原图，去掉u后，必然会分成两个子图。

所以处理节点u时，先递归v的子节点，然后回溯至u时，如果满足low[v]>=dfn[u]，则u为割点。

int tarjan(int x)
{
    v[x]=1;               //点的状态标记，1为已访问，2为割点
    Dfn[x]=Low[x]=time++;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        if(!v[ver[i]])
        {
            tarjan(ver[i]);
            Low[x]=min(Low[x],Low[ver[i]]);
            if(Dfn[x]<=low[ver[i]])
            v[x]++;
        }
        else
        Low[x]=min(low[x],Dfn[ver[i]]);
        if((x==1&&v[x]>2)||(x>1&&v[x]>1))   //对第一个特判
        v[x]=2;
        else
        v[x]=1;
    }
} 

2.求桥

桥(割边)：删掉它之后，图必然会分裂为两个或两个以上的子图。

原理：若low[v]>dfn[u],则(u,v)为桥。由割点同理可得。但是由于可能存在重边，需要把一条无向边拆成的两条标号相同的有向边，记录每个点的父亲到它的边的标号，如果边(u,v)是v的父亲边，就不能用dfn[u]更新low[v]。这样如果遍历完v的所有子节点后，发现low[v]=dfn[v]，说明u的父亲边(u,v)为割边。

void tarjan(int x)
{
 v[x]=1;
 Dfn[x]=Low[x]=time++;
 for(int i=head[x];i;i=next[i])
 {
     if(!v[ver[i]])
     {
      p[ver[i]]=edge[i];     //记录父亲边
      tarjan(ver[i]);
      Low[x]=min(Low[x],Low[ver[i]]);
     }
     else if(p[x]!=edge[i])  //不是父亲边则更新
     Low[x]=min(Low[x],Dfn[ver[i]]);
     if(p[x]&&low[x]==dfn[x])
     f[p[x]]=1;             //为割边
  }
 }

3.点双连通分量

点双连通分支，在求割点的过程中就能把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储双连通分支。在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。

 if(dfn[u]==low[u])
    {
        scc++;
        while(1) //记录每一个点属于的连通块
        {
            v=sta[top--];
            instack[v]=0;
            belong[v]=scc;  //所取出的点即为双连通分支
            if(v==u)
                break;
        }
    }
}

4.边双连通分支。在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。

5.一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图

首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。

统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。

void Tarjan(int u,int fa)
{
    int i,v;
    low[u]=dfn[u]=++cnt;
    sta[++top]=u;
    instack[u]=1;
    for(i=first[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        v=edge[i].v;
        if(i==(fa^1))
            continue;
        if(!dfn[v])
        {
            Tarjan(v,i);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(instack[v])
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        scc++;
        while(1) //记录每一个点属于的连通块
        {
            v=sta[top--];
            instack[v]=0;
            belong[v]=scc;
            if(v==u)
                break;
        }
    }
}
for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=first[i];j!=-1;j=edge[j].next)
            {
                v=edge[j].v;
                if(belong[i]!=belong[v])
                    degree[belong[i]]++;  //degree为1则为leaf
            }
        }
        int sum=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
            if(degree[i]==1)
                sum++;    统计leaf数
}