AHOI/HNOI2017 礼物

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对于题目中给的式子:(大家暂且把\(y_i\)当作\(y_{i+k}\)来看啦qwq)

\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-(y_i+c))^2\)

\(=\sum_{i=1}^n x_i-2x_i(y_i+c)+(y_i+c)^2\)

\(=\sum_{i=1}^nx_i^2-2x_iy_i-2x_ic+y_i^2+2y_ic+c^2\)

\(=\sum_{i=1}^{n} x_i^2-\sum_{i=1}^{n} 2x_iy_i-\sum_{i=1}^n2x_ic+\sum_{i=1}^ny_i^2+\sum_{i=1}^n2y_ic+\sum_{i=1}^nc^2\)

现在问题转化成了最大化\(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\)。

然后我们把y反转，我们大概就得到了这样的一个式子：

\(\sum_{i=1}^{n}x_iy_{n-i+1}\)

唔，卷积QAQ

然后设\(f(x)\)​和\(g(x)\)​，\(f(x)\)​的第\(i\)项系数是\(x_i\)​，\(g(x)\)​的第\(i\)项系数是\(y_{n-i+1}\)​，所以\(f(x)∗g(x)\)​的第\(n+1\)项系数就是第一个环的第n个和第二个环的第1个重合的结果（当然，也可以是前者的第1个和后者的第n个重合的结果，大家可以手动画图比对一下（注意是逆时针分布哦qwq）因为他们的次数相加等于n+1），然后以此类推，断环为链，所以倍长g，n+1~2n项的最大值即为所求。（注意f是要补位的，不过为了对答案不造成影响，要全部补零)

因为c很小，所以暴力枚举就行啦！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<complex>
#define MAXN 2000000
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const double pi=acos(-1.0);
int N,M,l,n,m,ans=INF;
int p1,p2,t1,t2,cur_ans=-INF;
int r[MAXN],s1[MAXN],s2[MAXN],S[MAXN];
complex<double> a[MAXN],b[MAXN];
inline void fft(complex<double> *P,int opt)
{
    for(int i=0;i<N;i++)
        if(i<r[i])
            swap(P[i],P[r[i]]);
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
    {
        complex<double> W(cos(pi/i),opt*sin(pi/i));
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
        {
            complex<double> w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w*=W)
            {
                complex<double> X=P[j+k],Y=w*P[j+k+i];
                P[j+k]=X+Y,P[j+k+i]=X-Y;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("ce.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s1[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s2[i]);
    N=n-1,M=2*n-1;
    for(int i=0;i<=N;i++) a[i]=s1[i+1];
    for(int i=0;i<n;i++) b[i]=s2[n-i];
    for(int i=0;i<n;i++) b[i+n]=b[i];
    M+=N;
    for(N=1;N<=M;N<<=1) l++;
    for(int i=0;i<N;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    fft(a,1),fft(b,1);
    for(int i=0;i<N;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,-1);
    for(int i=0;i<=M;i++) S[i]=(int)(a[i].real()/N+0.5);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p1+=s1[i]*s1[i],p2+=s2[i]*s2[i],t1+=s1[i],t2+=s2[i];
    for(int i=n-1;i<=2*n-1;i++) cur_ans=max(cur_ans,S[i]);
    for(int c=-m;c<=m;c++)
    {
        int ansans=p1+p2+n*c*c+2*c*(t1-t2)-2*cur_ans;
        ans=min(ans,ansans);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}