bzoj1211树的计数 x bzoj1005明明的烦恼 题解(Prufer序列)
1211: [HNOI2004]树的计数
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit: 3432 Solved: 1295
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Description
一个有n个结点的树,设它的结点分别为v1, v2, …, vn,已知第i个结点vi的度数为di,问满足这样的条件的不同的树有多少棵。给定n,d1, d2, …, dn,编程需要输出满足d(vi)=di的树的个数。
Input
第一行是一个正整数n,表示树有n个结点。第二行有n个数,第i个数表示di,即树的第i个结点的度数。其中1<=n<=150,输入数据保证满足条件的树不超过10^17个。
Output
输出满足条件的树有多少棵。
Sample Input
2 1 2 1
Sample Output
先丟几个Prufer序列的性质:
1.与无根树一一对应。
2.度数为$d_i$的点会在Prufer序列中出现$d_i-1$次。
3.一个$n$个节点的完全图的生成树个数为$n^{n-2}$
解释一下:prufer序列长为$n-2$,每个位置有$n$种可能性。
4.对于给定每个点度数的无根树,共有$\frac{(n-2)!}{\prod \limits _{i=1}^n {(d_i-1)!}}$种情况。
其实就是$d_i-1$个$i$的可重全排列。
那么这道题就用上面这个结论切掉就好了。求组合数直接分解质因数,记得要特判$n==1$及不联通的情况。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
const int N=;
int d[N],n;
int vis[N],pri[N],res[N],tot,sum,ans[N*],bu[N];
void getprime()
{
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])pri[++tot]=i,res[i]=tot;
for(int j=;j<=tot;j++)
{
if(pri[j]*i>n)break;
vis[i*pri[j]]=;res[i*pri[j]]=j;
if(i%pri[j]==)break;
}
}
}
void divi(int x,int val)
{
while(x!=)bu[res[x]]+=val,x/=pri[res[x]];
}
void mult(int a[],int x)
{
int k=;
for(int i=;i<=a[];i++)
{
int tmp=a[i]*x+k;
a[i]=tmp%;
k=tmp/;
}
while(k)a[++a[]]=k%,k/=;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
if(n==)
{
int deg;
scanf("%d",°);
if(!deg)puts("");
else puts("");
return ;
}
getprime();
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&d[i]);
if(!d[i])
{
puts("");
return ;
}
sum+=d[i]-;
}
if(sum!=n-)
{
puts("");
return ;
}
for(int i=n-;i>=;i--)
divi(i,);
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=d[i]-;j>=;j--)
divi(j,-);
}
ans[]=ans[]=;
for(int i=;i<=tot;i++)
while(bu[i]--)mult(ans,pri[i]);
for(int i=ans[];i;i--)
printf("%d",ans[i]);
return ;
}
1005: [HNOI2008]明明的烦恼
Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit: 7125 Solved: 2818
[Submit][Status][Discuss]
Description
自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在
任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?
Input
第一行为N(0 < N < = 1000),
接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1
Output
一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0
Sample Input
1
-1
-1
Sample Output
HINT
两棵树分别为1-2-3;1-3-2
本题的问题在于有的点度数是不确定的。
所以我们先求出$sum=\sum d_i-1$,之后从总长度$n-2$中选出这些
对于剩下的不确定度数的部分,我们设已知度数点的个数为$cnt$
那么现在有$n-2-sum$个位置可以任意排列$n-cnt$个点
易得最终答案为
$C_{n-2}^{sum}*\frac{(n-2)!}{\prod \limits _{i=1}^{cnt} {(d_i-1)!}}*(n-cnt)^{n-2-sum}$
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=;
int d[N],n;
int vis[N],pri[N],res[N],tot,sum,cnt,ans[N*],bu[N];
void getprime()
{
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])pri[++tot]=i,res[i]=tot;
for(int j=;j<=tot;j++)
{
if(pri[j]*i>n)break;
vis[i*pri[j]]=;res[i*pri[j]]=j;
if(i%pri[j]==)break;
}
}
}
void divi(int x,int val)
{
while(x!=)bu[res[x]]+=val,x/=pri[res[x]];
}
void mult(int a[],int x)
{
int k=;
for(int i=;i<=a[];i++)
{
int tmp=a[i]*x+k;
a[i]=tmp%;
k=tmp/;
}
while(k)a[++a[]]=k%,k/=;
} int main()
{
scanf("%d",&n);
getprime();
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&d[i]);
if(d[i]!=-)sum+=d[i]-,cnt++;
}
for(int i=n-;i>=;i--)
divi(i,);
for(int i=n--sum;i>=;i--)
divi(i,-);
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(d[i]!=-)
{
for(int j=d[i]-;j>=;j--)
divi(j,-);
}
}
ans[]=ans[]=;
for(int i=;i<=n--sum;i++)
mult(ans,n-cnt);
for(int i=;i<=tot;i++)
while(bu[i])mult(ans,pri[i]),bu[i]--;
for(int i=ans[];i>=;i--)
printf("%d",ans[i]);
return ;
}
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