【HEOI2015】小Z的房间

题意

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4111

题解

前置知识：矩阵树定理

不要问证明，我不会，用就完事了（反正一般也不会用到）

因为矩阵树定理就是求一张 $n$ 个点的简单无向图的生成树个数，时间复杂度为 $O(n^3)$，再看看这道题的数据范围，$n,m\le 9$，直接矩阵树定理就可以了……

注意因为我们要求方案数，这个数可能很大，而我们用高斯消元把矩阵消成上三角的话，由于要用 $double$，会出现精度误差，这种小数运算的误差在这种求方案数的题中是不允许的（因为方案数就是一个准确的整数，没有保留几位小数之说）。所以这里采用辗转相除法把高斯消元的非整数倍消元 转成多次整数倍消元，具体实现见代码，就是对矩阵的两行进行类似于辗转相除的操作。总时间复杂度就在普通 $O(n^3)$ 高消基础上 乘上每次辗转相除的复杂度（辗转相除的复杂度是 $O(辗转相除的两数中较小数在斐波那契数列的第几项)$）。

upd：时间复杂度应该是 $O(n^3+n^2 P)$（$P$ 是模数，即值域），而不是网上大部分题解说的 $O(n^3 \log{P})$。证明（因为辗转相除的次数接近 $log$，我们可以近似地用 $log$ 表示辗转相除的复杂度）：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 #define N 110
 #define p 1000000000
 using namespace std;
 const int dx[] = {-, }, dy[] = {, -};
 inline int read(){
     int x = ; bool f = ; char c = getchar();
     for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c == '-') f = ;
     for(;  isdigit(c); c=getchar()) x = (x<<) + (x<<) + (c^'');
     if(f) return x;
     return  - x;
 }
 int n, m, tot, id[N][N];
 bool e[N][N];
 ll d[N][N];
 char s[N];
 ll solve(){
     int n = tot - ;
     bool tr = ;
     ll ans = ;

     for(int i=; i<=n; ++i){
         for(int j=i+; j<=n; ++j){
             while(d[j][i]){
                 ll tmp = d[i][i] / d[j][i];
                 for(int k=; k<=n; ++k){ //辗转相除
                     d[i][k] = (d[i][k] - tmp * d[j][k] % p + p) % p;
                     swap(d[i][k], d[j][k]);
                 }
                 tr ^= ;
             }
         }
         if(!d[i][i]) return ;
         ans = ans * d[i][i] % p;
     }
     if(tr) ans = p - ans; //原型是 ans = -ans，交换奇数次行时，行列式值要取负
     return ans;
 }
 int main(){
     n = read(), m = read();
     for(int i=; i<=n; ++i){
         scanf("%s", s+);
         for(int j=; j<=m; ++j)
             if(s[j] == '.') e[i][j] = ;
     }
     for(int i=; i<=n; ++i){
         for(int j=; j<=m; ++j){
             if(!e[i][j]) continue;
             id[i][j] = ++tot;
             int u = id[i][j];
             for(int k=; k<; ++k){
                 int x = i + dx[k], y = j + dy[k];
                 if(!e[x][y]) continue;
                 int v = id[x][y];
                 ++d[u][u], ++d[v][v],
                 d[u][v] = (d[u][v] -  + p) % p, d[v][u] = (d[v][u] -  + p) % p;
             }
         }
     }
     cout << solve() << endl;
     return ;
 }