【LOJ6513】「雅礼集训 2018 Day10」足球大战（数学题）

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大致题意： 已知主队每秒进球概率为$p$，客队每秒进球概率为$q$，求主队进球数大于客队的概率。

推式子

考虑枚举主队进球数$i$，则客队进球数必然小于$i$，因此可再枚举一个$j$表示客队进球数。

显然，主队进球数为$i$的概率应为$p^i(1-p)^{n-i}$，同理客队进球数为$j$的概率应为$q^j(1-q)^{n-j}$。

而哪$i$场或哪$j$场进球是任意的，所以两式应各乘上一个组合数$C_n^i$和$C_n^j$。

所以就可以得到这样一个式子：

\[\sum_{i=1}^np^i(1-p)^{n-i}C_n^i\sum_{j=0}^{i-1}q^j(1-q)^{n-j}C_n^j
\]

$O(n)$求值

注意到$n\le10^7$，所以我们需要一边枚举$i$，一边同时统计这个式子的值，这其实是可以实现的。

我们用$p_1$存储$p^i$，$p_2$存储$(1-p)^{n-i}$，$q_1$存储$q^j$，$q_2$存储$(1-q)^{n-j}$，$sq$存储$\sum_{j=0}^{i-1}q^j(1-q)^{n-j}C_n^j$，$ans$存储答案。

初始化$p_1=1,p_2=(1-p)^n,q_1=\frac1q,q_2=(1-q)^{n+1},sq=ans=0$。

然后定义两个常量$tp$和$tq$分别存储$\frac1{1-p}$和$\frac1{1-q}$。

每次操作时，将$p_1$乘上$1$，$p_2$乘上$tp$，$q_1$乘上$q$，$q_2$乘上$tq$，$sq$加上$q_1q_2C_n^{i-1}$，$ans$加上$p_1*p_2*C_n^i*sq$即可。

关于内存

这道题内存其实是卡得很紧的，而$n\le10^7$，差不多只能开一个数组。

但光组合数就需要阶乘和阶乘逆元两个数组啊！

不过，注意到此题中的组合数都是$C(n,x)$的格式，因此所需用到的阶乘只有$n!$，这可以直接预处理。然后就只需要一个阶乘逆元的数组即可。

某些特判

上面的式子，在某些特殊情况下其实是过不去的。

$p=0$时，需直接输出$0$。
$q=0$时，需输出$1-(1-p)^n$，即除非主队一球不进，否则必胜。
$p=1$时，需输出$1-q^n$，即除非客队全进，否则必胜。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 10000000
#define X 1000000007
#define Qinv(x) Qpow(x,X-2)
#define C(x) (1LL*Fn*Inv[x]%X*Inv[n-(x)]%X)
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))
using namespace std;
int n,p,q,Fn,Inv[N+5];
I int Qpow(RI x,RI y) {RI res=1;W(y) y&1&&(res=1LL*res*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return res;}
I int XSub(RI x,CI y) {return (x-=y)<0&&(x+=X),x;}
int main()
{
	RI i,x,y,ans=0;scanf("%d%d%d",&n,&x,&y),p=1LL*x*Qinv(y)%X,scanf("%d%d",&x,&y),q=1LL*x*Qinv(y)%X;//读入数据
	if(!p) return putchar('0'),0;if(!q) return printf("%d",XSub(1,Qpow(XSub(1,p),n))),0;//特判p=0或q=0的情况
	if(!(p^1)) return printf("%d",XSub(1,Qpow(q,n))),0;//特判p=1的情况
	for(Fn=i=1;i<=n;++i) Fn=1LL*Fn*i%X;for(Inv[n]=Qinv(Fn),i=n-1;~i;--i) Inv[i]=1LL*Inv[i+1]*(i+1)%X;//预处理n!和阶乘逆元
	RI tp=Qinv(XSub(1,p)),tq=Qinv(XSub(1,q)),p1=1,p2=Qpow(XSub(1,p),n),q1=Qinv(q),q2=Qpow(XSub(1,q),n+1),sq=0;//初始化变量
	for(i=1;i<=n;++i)//O(n)求值
	{
		p1=1LL*p1*p%X,p2=1LL*p2*tp%X,q1=1LL*q1*q%X,q2=1LL*q2*tq%X,Inc(sq,1LL*q1*q2%X*C(i-1)%X),//更新数据
		Inc(ans,1LL*p1*p2%X*C(i)%X*sq%X);//更新答案
	}return printf("%d",ans),0;//输出答案
}