BZOJ 2431 [HAOI2009]逆序对数列：dp 逆序对

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2431

题意：

　　给定n,k，问你有多少个由1~n组成的排列，使得逆序对个数恰好为k个。

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = num of sequences

　　　　i：已经用了1~i之间的数（在这一步放了数字i）

　　　　j：逆序对个数为j

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n][k]

　　如何转移：

　　　　在当前这一步要放数字i。

　　　　所以要将i插入一个由1~i-1组成的排列中。

　　　　若将i插入位置x(0 <= x <= i-1)，则新添的逆序对个数为x。

　　　　所以：

　　　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j-x]

　　　　即：

　　　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j-i+1 to j]

　　　　由于裸dp复杂度为O(N^3) = O(10^9)，所以加一个前缀和优化。

　　边界条件：

　　　　dp[1][0] = 1

　　　　others = 0

AC Code:

 // state expression:
 // dp[i][j] = num of sequences
 // i: considered number i
 // j: there is j inversion pairs
 //
 // find the answer:
 // ans = dp[n][k]
 //
 // transferring:
 // dp[i][j] = sigma dp[i-1][j-i+1 to j]
 //
 // boundary:
 // dp[1][0] = 1
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 1005
 #define MAX_K 1005
 #define MOD 10000
 
 using namespace std;
 
 int n,t;
 int dp[MAX_N][MAX_K];
 int sum[MAX_N][MAX_K];
 
 void read()
 {
     cin>>n>>t;
 }
 
 void update_sum(int i,int j,int a)
 {
     if(j==) sum[i][j]=a;
     else sum[i][j]=(sum[i][j-]+a)%MOD;
 }
 
 int query_sum(int i,int x,int y)
 {
     if(x==) return sum[i][y];
     else return ((sum[i][y]-sum[i][x-])%MOD+MOD)%MOD;
 }
 
 void solve()
 {
     memset(dp,,sizeof(dp));
     memset(sum,,sizeof(sum));
     dp[][]=;
     for(int i=;i<=t;i++)
     {
         sum[][i]=;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=;j<=t;j++)
         {
             dp[i][j]=query_sum(i-,max(,j-i+),j);
             update_sum(i,j,dp[i][j]);
         }
     }
 }
 
 void print()
 {
     cout<<dp[n][t]<<endl;
 }
 
 int main()
 {
     read();
     solve();
     print();
 }