封闭解(Closed-form solution)、解析解(Analytical solution)、数值解(Numerical solution) 释义

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1 解析解

　　解析解(Analytical solution) 就是根据严格的公式推导，给出任意的自变量就可以求出其因变量，也就是问题的解，然后可以利用这些公式计算相应的问题。所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法(Analytical techniques)，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。

2 封闭解

　　解析解是一个封闭形式(Closed-form) 的函数，因此对任一自变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的因变量。因此，解析解也被称为封闭解(Closed-form solution)。

3 数值解

　　数值解(Numerical solution) 是采用某种计算方法，如有限元法， 数值逼近法，插值法等得到的解。别人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值。

　　当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。在数值分析的过程中，首先会将原方程加以简化，以利于后来的数值分析。例如，会先将微分符号改为差分（微分的离散形式）符号等，然后再用传统的代数方法将原方程改写成另一种方便求解的形式。这时的求解步骤就是将一自变量带入，求得因变量的近似解，因此利用此方法所求得的因变量为一个个离散的数值，不像解析解为一连续的分布，而且因为经过上述简化的操作，其正确性也不如解析法可靠。

简而言之：

• 解析解就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值；
• 数值解就是用数值方法求出近似解，给出一系列对应的自变量和解。