P3750 [六省联考2017]分手是祝愿期望DP

$\color{#0066ff}{ 题目描述 }$

Zeit und Raum trennen dich und mich. 时空将你我分开。

B 君在玩一个游戏，这个游戏由 $n$ 个灯和 $n$ 个开关组成，给定这 $n$ 个灯的初始状态，下标为从 $1$ 到 $n$ 的正整数。

每个灯有两个状态亮和灭，我们用 $1$ 来表示这个灯是亮的，用 $0$ 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。

但是当操作第 $i$ 个开关时，所有编号为 $i$ 的约数（包括 $1$ 和$i$）的灯的状态都会被改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。

B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。

这个策略需要的操作次数很多，B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，可以通过操作小于等于 $k$ 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个策略显然小于等于 $k$ 步）操作这些开关。

B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 $k$ 步，使用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。

这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 $n$ 的阶乘一定是整数，所以他只需要知道这个整数对 $100003$ 取模之后的结果。

$\color{#0066ff}{输入格式}$

第一行两个整数 $n, k$。接下来一行 $n$ 个整数，每个整数是 $0$ 或者 $1$，其中第 $i$ 个整数表示第 $i$ 个灯的初始情况。

$\color{#0066ff}{输出格式}$

输出一行，为操作次数的期望乘以 $n$ 的阶乘对 $100003$ 取模之后的结果。

$\color{#0066ff}{输入样例}$

4 0

0 0 1 1

$\color{#0066ff}{输出样例}$

5 0

1 0 1 1 1

$\color{#0066ff}{数据范围与提示}$

对于 $0\%$ 的测试点，和样例一模一样；

对于另外 $30\%$ 的测试点，$n \leq 10$；

对于另外 $20\%$ 的测试点，$n \leq 100$；

对于另外 $30\%$ 的测试点，$n \leq 1000$；

对于 $100\%$ 的测试点，$1 \leq n \leq 100000, 0 \leq k \leq n$；

对于以上每部分测试点，均有一半的数据满足 $k = n$。

$\color{#0066ff}{题解}$

这是一个很好？的期望DP

每次按下一个开关，只会影响它约数的灯的状态

预处理出每个开关能改变的灯，用vector存

枚举因子是$O(n\sqrt{n})$的，因为会有一些浪费（非因子也被枚举了）

考虑枚举倍数，这样的复杂度是$O(nlogn)$的，就可以了

可以发现，按下当前的按钮，当前的灯的状态一定会改变，而它后面的灯的状态不变

也就是说，从后往前来，遇到亮的灯就按相应按钮，最多n次，就可以全部熄灭

而且，可以发现，按按钮的顺序不影响

所以我们设$f[i]$ 代表按$i$次开关可以将灯全部熄灭的状态转移到按$i - 1$次开关将灯全部熄灭的状态的期望步数

那么$f[i] = \frac{i}{n}+\frac{n-i}{i}*(f[i+1]+f[i]+1)$

n个开关，有i个是正确的，n-i个是错误的，会增加一个步数，然后从$i + 1\to i-1$ 需要$f[i+1]+f[i]$次操作

$f[n]=1$

如果总操作数都比k小，那么期望就是操作数了

否则累计从k到总操作数的f值，别忘了最后+k

还要乘n的阶乘，因为模数是质数还算有点良心，递推时直接乘逆元，最后再乘阶乘就行

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

LL in() {

	char ch; int x = 0, f = 1;

	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);

	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));

	return x * f;

}

const int mod = 1e5 + 3;

const int maxn = 1e5 + 10;

LL ksm(LL x, LL y) {

	LL re = 1LL;

	while(y) {

		if(y & 1) re = re * x % mod;

		x = x * x % mod;

		y >>= 1;

	}

	return re;

}

int b[maxn];

LL f[maxn], ans;

using std::vector;

vector<int> g[maxn];

int n, k, num;

signed main() {

	n = in(), k = in();

	for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] = in();

	for(int i = 1; i <= n; i++)

		for(int j = i; j <= n; j += i)

			g[j].push_back(i);

	for(int i = n; i >= 1; i--)

		if(b[i]) {

			num++;

			for(int j = 0; j < (int)g[i].size(); j++) b[g[i][j]] ^= 1;

		}

	if(num <= k) ans = num;

	else {

		f[n] = 1;

		for(LL i = n - 1; i >= 1; i--) f[i] = (1LL + ((n - i) * ksm(i, mod - 2) % mod) * (f[i + 1] + 1LL) % mod) % mod;

		for(int i = num; i > k; i--) (ans += f[i]) %= mod;

		(ans += k) %= mod;

	}

	for(int i = 1; i <= n; i++) (ans *= i) %= mod;

	printf("%lld", ans);

	return 0;

}

考试时看错题了。。。以为是到达小于等于k步的期望，一直不出样例qwq