Luogu 4206 [NOI2005]聪聪与可可
BZOJ 1415
简单期望 + 记忆化搜索。
发现聪聪每一步走向的地方是在可可的所在位置确定时是确定的,设$nxt_{x, y}$表示聪聪在$x$,可可在$y$时聪聪下一步会走到哪里,我们先预处理出这个$nxt$。
为了预处理$nxt$,我们还需要先预处理一个$d_{x, y}$表示$x$到$y$的最短距离,因为所有边的边权相同,所以我们第一次广搜到一个点的时候就是到这个点的最短路。
假如$d_{x, z} == d_{y, z} + 1$,$dis(x, y) == 1$,那么$z$就是$x$到$y$最短路上的一个点,用它更新$nxt_{x, y}$即可。
我们设$f_{x, y}$ 表示聪聪在$x$,可可在$y$时抓到可可的期望步数,显然有:
$f_{x, y} == 0$ $(x == y)$
$f_{x, y} == 1$ $(nxt_{x, y} == y)$ 或者 $(nxt_{nxt_{x, y}, y} == y)$
而根据期望的性质,可可的随机行走可以表示成这个公式:
$f_{x, y} = \frac{\sum _{z} f_{nxt_{nxt_{x, y}, y}, z}}{deg_y + 1} + 1$ $z == y$或者$z$可由$y$一步走到。
记忆化搜索实现。
时间复杂度$O(n^2)$。
Code:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
typedef double db; const int N = ;
const int inf = 0x3f3f3f3f; int n, m, st, ed, d[N][N];
int tot = , head[N], deg[N], nxt[N][N];
db f[N][N]; struct Edge {
int to, nxt;
} e[N << ]; inline void add(int from, int to) {
e[++tot].to = to;
e[tot].nxt = head[from];
head[from] = tot;
} inline void read(int &X) {
X = ; char ch = ; int op = ;
for(; ch > ''|| ch < ''; ch = getchar())
if(ch == '-') op = -;
for(; ch >= '' && ch <= ''; ch = getchar())
X = (X << ) + (X << ) + ch - ;
X *= op;
} inline void chkMin(int &x, int y) {
if(y < x) x = y;
} queue <int> Q;
inline void bfs(int fir, int *dis) {
Q.push(fir);
for(int i = ; i <= n; i++) dis[i] = inf;
dis[fir] = ; for(; !Q.empty(); ) {
int x = Q.front(); Q.pop();
for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
int y = e[i].to;
if(dis[y] == inf) {
dis[y] = dis[x] + ;
Q.push(y);
}
}
}
} db dfs(int x, int y) {
if(f[x][y] != -1.0) return f[x][y];
if(x == y) return f[x][y] = 0.0;
if(nxt[x][y] == y) return f[x][y] = 1.0;
if(nxt[nxt[x][y]][y] == y) return f[x][y] = 1.0; db res = ;
for(int i = head[y]; i; i = e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
res += dfs(nxt[nxt[x][y]][y], to);
}
res += dfs(nxt[nxt[x][y]][y], y); return f[x][y]= res / (deg[y] + ) + ;
} int main() {
read(n), read(m), read(st), read(ed);
for(int x, y, i = ; i <= m; i++) {
read(x), read(y);
add(x, y), add(y, x);
deg[x]++, deg[y]++;
} for(int i = ; i <= n; i++) bfs(i, d[i]); /* for(int i = 1; i <= n; i++, printf("\n"))
for(int j = 1; j <= n; j++)
printf("%d ", d[i][j]); */ memset(nxt, 0x3f, sizeof(nxt));
for(int x = ; x <= n; x++) {
for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
int y = e[i].to;
for(int k = ; k <= n; k++)
if(d[x][k] == d[y][k] + )
chkMin(nxt[x][k], y);
}
} /* for(int i = 1; i <= n; i++, printf("\n"))
for(int j = 1; j <= n; j++)
printf("%d ", nxt[i][j]); */ for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
f[i][j] = -1.0; dfs(st, ed); printf("%.3f\n", f[st][ed]);
return ;
}
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