USACO Section1.1 Broken Necklace 解题报告
beads解题报告 —— icedream61 博客园(转载请注明出处)
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【题目】
输入文件:第一行N;第二行一个字符串A,长度为N。字符串中,仅有r、w、b三种字符,分别代表红、白、蓝。
A代表一串项链,有三种颜色的珠子。将A首位相接,而后从一个地方断开,形成新的串B。从B首尾分别开始向中间按以下规则取珠子,求最多得到多少颗。
规则:每边都连续取,不能跳;只能取一种颜色的珠子,w可以视为任何颜色。例如rwwrrwbwr,左边能取6个,w视为r;右边只能取2个,因为有r且不能跳过b。
【数据范围】
3<=N<=500
【输入文件】
77
rwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwbwrwbwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwr
【输出文件】
74
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【分析1——暴力】
本题数据很小,枚举法即可。N个分割位置,每个位置最多数2N个珠子,时间复杂度是O(N²)。
本题难点在于,数珠子要求一定的编程严谨性。
【分析2——NEW】
本题基本思路,枚举N个位置,N个分割结果中取最大值即为答案。
从每个位置往两侧数,加起来再去重(所有珠子都可以取的时候会产生重复)就是从这里分割的结果了。
那么,我们可以考虑降低从某个位置往两侧数的时间。假设当前处于位置i,珠子颜色是r,正在向右数。显然应当数到第一个b为止。而这条路径上的所有r,都应数到同一个b为止;所有w,则除了紧贴着b的几个w外,都应数到b为止。那么,我们便可以考虑,把这些点数一次就统统解决,减少重复的时间。
为了达到上述效果,我们反过来考虑:如果我站在某个b的位置上(这个位置记为k),往左看,则可以看到很多w和b,再继续则会看到很多r和w。那么,我从这个b往左一直走,走到的第一个r位置记为j,从j再继续走看到的第一个b位置记为i。显然,i+1到j的所有珠子向右数的结果我就都能确定下来了,就是数到k-1为止;同时,j+1到k的所有珠子向左数的结果我也都能确定下来了,就是数到j+1为止。(看到这里,脑子乱的同学一定要画个图来看看!)
我们仔细看看上面的过程,到底是什么地方让我们一下子就确定下来这么多点的呢?没错!就是相邻的r和b~(当然,中间的w不影响“相邻”这个说法。)因此,我们可以考虑实际操作的时候从这里入手:先从随便一个地方开始扫,扫到第一个非w的地方记为x,不妨设这里是r;而后,再继续扫,找到第一个b位置记为z。(如果扫完一圈都找不到b,那么本题答案是N。)那么此时,我们记z左边的第一个r位置是y,这在从x扫到z的过程中很容易顺带求出来。如此一来,我们就得到了相邻的两个珠子,左边的y是r,右边的z是b。此时,从z开始继续向右扫,直到第一个r为止,此处记为x(之前的x没用了,扔掉)。这个过程中,z到x-1的所有珠子向左都是数到y+1为止。而此时,我们又得到了第二组相邻的珠子,右边的x是r,而左边的则是刚才过程中记下来的x左边第一个b,于是,重复上述过程即可……直至找到所有珠子向左数的结果。
这样做有些乱,建议大家一定要画个图理清思路,否则一定是编不对的……不过别沮丧,我们可是硬生生地把复杂度从O(N²)降到了O(N)啊!作为小作者的我,还是非常有成就感的^.^
【分析3——DP】
本题考虑使用DP,仍是去降低数数的时间。
定义:对于位置i的珠子,向左数结果为L[i],向右数结果为R[i]。
定义:对于位置i的w珠子,向左数的过程中此点被视为的颜色为Lc[i],左边连续的w个数(包括自己)为Ln[i];右侧对应记为Rc[i]与Rn[i]。
状态转移方程:
对于位置i颜色r的珠子,
1.如果i-1是r,那么L[i]=L[i-1]+1;
2.如果i-1是b,那么L[i]=1;
3.如果i-1式w,那么L[i]=(Lc[i-1]=='r')?(L[i-1]+1):(Ln[i]+1);
对于位置i颜色w的珠子,那么L[i]=L[i-1]+1;
1.如果i-1有颜色,那么Lc[i]为i-1的颜色,Ln[i]=1;
2.如果i-1无颜色,那么Lc[i]=Lc[i-1],Ln[i]=Ln[i-1]+1;
右侧则对称定义即可。
边界条件:开始随便找一个点,位置记为i。从i向两侧数出i点所有信息即可。
DP过程:从i点向右DP直至绕一圈到i-1,再同样从i点向左DP到i+1。
至此,每个点向左向右数的结果都已知晓,直接枚举所有位置求出答案即可,时间复杂度O(N)。
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【总结】
这道题我犯了几个细节错误,充分说明了我现在手生。
犯的错误有
1.忘了答案超过N时去重
2.在C/C++中,当i<0,N>0时,i%N结果为i,而不是i+N。因此,当往左数的时候,要将i=(i-1)%N写成i=(i-1+N)%N。
注:我写的是方法1。
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【代码】
/*
ID: icedrea1
PROG: beads
LANG: C++
*/ #include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std; int N;
string B; char now(char x,char y)
{
return x=='w'?y:x;
}
bool good(char x,char y)
{
return x==y || x=='w' || y=='w';
}
int go(int i,int add)
{
bool p=false;
if(i> && i<) p=true;
if(p) cout<<"i="<<i<<"\tadd="<<add<<"\t"<<B[i];
int s=;
char x=B[i];
for(i=(i+add+N)%N;
good(x,B[i]) && s<N;
i=(i+add+N)%N)
{
++s;
x=now(x,B[i]);
}
if(p) cout<<"\ts="<<s<<"\ti="<<i<<endl;
return s;
}
void change(int &r,int x)
{
static int time = ;
if(x>r) r=x;
//if(--time>0 && time<34) cout<<"\tx="<<x<<"\n"<<endl;
}
int main()
{
ifstream in("beads.in");
ofstream out("beads.out"); int r=;
in>>N>>B;
cout<<"B[0]="<<B[]<<endl;
cout<<"B[N-1]="<<B[N-]<<endl;
for(int i=;i!=N;++i)
{
// selebrate i and i+1
change(r,go(i,-)+go((i+)%N,));
}
out<<(r<N?r:N)<<endl; in.close();
out.close();
return ;
}
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