洛谷【P1080】国王游戏
我对贪心的理解:https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9776293.html
题目传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1080
对于很多要求一个序列使得结果最优,那么这个序列该怎么排的题目,我们都可以用微扰的思想来解决。
假定我们已经求出了最优序列,并且在这个顺序下,交换任意两项都不会更优。因为交换任意两项可以通过交换相邻两项得来,所以也就是交换任意相邻两项不会更优。
令\(fake[i]\)等于\(\prod\limits_{j=0}^{j=i}left[i]\)。对于任意\(i,i+1\)存在:
交换前,他们分别拿到:
\(fake[i-1]/right[i]\),\(fake[i-1]*left[i]/right[i+1]\)
交换后分别得到:
\(fake[i-1]/right[i+1]\),\(fake[i-1]*left[i+1]/right[i]\)
由于任意交换都不会使得结果更优,所以:
\(max(fake[i-1]/right[i],fake[i-1]*left[i]/right[i+1])<=max(fake[i-1]/right[i+1],fake[i-1]*left[i+1]/right[i])\)
提出公因式:
\(max(1/right[i],left[i]/right[i+1])<=max(1/right[i+1],left[i+1]/right[i])\)
则\(1/right[i+1]\)与\(left[i+1]/right[i]\)这两个数中,必然有一个数同时大于等于\(1/right[i]和left[i]/right[i]\)。因为\(1/right[i+1]<=left[i]/right[i+1]\),所以\(left[i+1]/right[i]>=left[i]/right[i+1]\)。
所以对于任意\(i\),\(i+1\),都存在:
\(left[i]*right[i]<=left[i+1]*right[i+1]\)
按这个排序然后模拟就行了。
时间复杂度:\(O(n*高精度)\)
空间复杂度:\(O(n)\)
代码如下:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005,pps=10000;
int n;
int read() {
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
return x*f;
}
struct person {
int lft,rgt;
bool operator<(const person &a)const {
return lft*rgt<a.lft*a.rgt;
}
}p[maxn];
struct Bignum {
int num[1050];
void clear() {
memset(num,0,sizeof(num));
}
void init() {
clear();num[0]=num[1]=1;
}
Bignum operator*(const int &a)const {
Bignum c;c.clear();c.num[0]=num[0];
for(int i=1;i<=num[0];i++) {
c.num[i]+=num[i]*a;
c.num[i+1]+=c.num[i]/pps;
c.num[i]%=pps;
}
if(c.num[c.num[0]+1])c.num[0]++;
return c;
}
Bignum operator/(const int &a)const {
Bignum c;c.clear();c.num[0]=num[0];
int tmp=0;
for(int i=num[0];i;i--) {
c.num[i]=(tmp*pps+num[i])/a;
tmp=(tmp*pps+num[i])%a;
}
while(!c.num[c.num[0]]&&num[0])c.num[0]--;
return c;
}
bool operator<(const Bignum &a)const {
if(num[0]!=a.num[0])return num[0]<a.num[0];
for(int i=num[0];i;i--)
if(a.num[i]!=num[i])
return num[i]<a.num[i];
return 1;
}
void print() {
printf("%d",num[num[0]]);
for(int i=num[0]-1;i>0;i--)
printf("%04d",num[i]);
}
};
int main() {
n=read();
for(int i=0;i<=n;i++)
p[i].lft=read(),p[i].rgt=read();
sort(p+1,p+n+1);Bignum tmp,ans;
ans.clear();tmp.init();tmp=tmp*p[0].lft;
for(int i=1;i<=n;i++) {
ans=max(ans,tmp/p[i].rgt);
tmp=tmp*p[i].lft;
}ans.print();
return 0;
}
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