HH去散步[SDOI2009]
题目描述
HH有个一成不变的习惯,喜欢饭后百步走。所谓百步走,就是散步,就是在一定的时间 内,走过一定的距离。 但是同时HH又是个喜欢变化的人,所以他不会立刻沿着刚刚走来的路走回。 又因为HH是个喜欢变化的人,所以他每天走过的路径都不完全一样,他想知道他究竟有多 少种散步的方法。 现在给你学校的地图(假设每条路的长度都是一样的都是1),问长度为t,从给定地 点A走到给定地点B共有多少条符合条件的路径
输入
输出
一行,表示答案。
样例输入
4 5 3 0 0
0 1
0 2
0 3
2 1
3 2
样例输出
4 题解
考试的时候想得比较粗略,一开始当然是暴力深搜,也知道这种方案数还取模的题不可能深搜出正解,但还是先打了一通,没费什么力气就出了样例。之后开始想正解,感觉或许应该把环收缩一下,但是环环相扣环环重叠不知道应该怎么处理,最后还是把深搜交上去了。
正解是矩阵优化dp(但总感觉它其实说不上是dp),比如矩阵G[i,j]的k次方中的g(a,b)可以表示从a点到b点经过k条边的方案数,本题因为对于边有特殊的要求(不立刻反向)所以把边放进矩阵,G[i,j]为1表示从i到j有一条边,这里的边是分方向的,双向建边就会有2*m条。tot矩阵(其实只有一行)表示从起点有哪些边出来。tot乘上G[i,j]的k-1次方(注意顺序,矩阵乘法不满足交换律),把得到的一行结果矩阵中有边到终点的位加和,得到的结果即为答案。
刚开始觉得矩阵非常抽象,虽然自己在课下学过很多数学书上的理论知识但还是不会用,不过这道题让我明白矩阵也是有明确含义的(加速矩阵除外),本质上还是要理解算法每一步的目的。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,t,a,b,temp;
const int md=;
int dis[][]={},tot[][]={},ans[][]={};
inline int r()
{
int jg=,jk=;
jk=getchar()-'';
if(jk>=&&jk<=) jg+=jk;
jk=getchar()-'';
while(jk>=&&jk<=)
{
jg*=;
jg+=jk;
jk=getchar()-'';
}
return jg;
}
int h[],e;
struct B
{
int u,v,ne;
}bi[];
void add(int x,int y)
{
bi[e].u=x;
bi[e].v=y;
bi[e].ne=h[x];
h[x]=e++;
}
int jg[][];
void jc(int cs1[][],int cs2[][])
{
memset(jg,,sizeof(jg));
for(int i=;i<temp;i++)
for(int j=;j<temp;j++)
for(int k=;k<temp;k++)
jg[i][j]+=(cs1[i][k]*cs2[k][j])%md;
for(int i=;i<temp;i++)
for(int j=;j<temp;j++)
cs1[i][j]=jg[i][j]%md;
}
void init()
{
n=r();
m=r();
t=r();
a=r();
b=r();
temp=*m;
memset(h,-,sizeof(h));
int a1,a2;
for(int i=;i<m;i++)
{
a1=r();
a2=r();
add(a1,a2);
add(a2,a1);
}
for(int i=;i<n;i++)
for(int j=h[i];j!=-;j=bi[j].ne)
for(int k=h[bi[j].v];k!=-;k=bi[k].ne)
{
if(((k&)&&k==j+)||((j&)&&j==k+))
continue;
dis[j][k]=;
}
for(int i=h[a];i!=-;i=bi[i].ne)
tot[][i]=;
}
int main()
{
init();
for(int i=;i<temp;i++)
ans[i][i]=;
t--;
while(t)
{
if(t&) jc(ans,dis);
t>>=;
jc(dis,dis);
}
jc(tot,ans);
int res=;
for(int i=h[b];i!=-;i=bi[i].ne)
{
if(i&)
res+=tot[][i-];
else
res+=tot[][i+];
}
printf("%d",res%md);
return ;
}
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