《University Calculus》-chape8-无穷序列和无穷级数-欧拉恒等式

写在前面：写在前面的当然是对大天朝教材的吐槽啦。

曾记否，高中所学虚数和复平面的概念，如此虚无的概念到了大学一门叫《模拟电子技术》的课程中居然明目张胆的开始进行计算！

曾记否，高中的指对运算，他们老师由于不想说话就向我们扔了一个自然对数e！

其实很多人觉得数学抽象、晦涩而且无章可循，其实这都是假想，如果真的有这种感觉，很大程度上是教科书在编排顺序上有瑕疵。数学本身是语言，描述自然的语言，因此在每个概念、公式的背后，往往都需要(或者说必然)对应着现实模型，因此在学习新的概念的时候，考察它的现实意义往往是充分理解其含义的重要一环。

增长的极限，自然对数e：

首先让我们来看两个非常有意思的悖论：

二分法悖论：

想像你要走在街上。要走到另一边你必须先走一半，要走一半你必须先走四分之一，要走四分之一你必须先走八分之一，然后十六分之一，然后一直无限的分半。最后你要走在街上这么简单的事情之前，你必须先完成无限次的小事情，而这变得不可行。还有不管你要做的事情有多小都可以无限的一直被分半，所以你唯一可以完成的方法就是一开始的距离是零，但这样的话从一开始就不可能有开始。

阿奇里斯与乌龟的悖论：

阿奇里斯与乌龟的悖论里，阿奇里斯与乌龟比赛。阿奇里斯让乌龟先开始100英尺。你应该会想一个跑得很快一个跑得很慢，阿奇里斯应该可以追上乌龟。但这理论说乌龟假如跑了10英尺的话，阿奇里斯就需要花更多的时间追上那10英尺，而他在追的这段时间乌龟又更往前进了，而这情况会一直重演，所以不管阿奇里斯如何追乌龟都有追不完的距离，因为乌龟到过的地方有无限的点让阿奇里斯去追。但简单的经验告诉我们阿奇里斯可以超过乌龟所以这是一个悖论。

其实在这我们并不需要更加详细的去了解这两个悖论后边的原理，当然如果兴趣浓厚可以去查阅这方面的资料，在这两个悖论的基础上，我们来看下面这个问题。

考虑这样一个非常有意思的问题：

你拿着1块钱去银行存款，银行的年利率是100%，那么存1年之后，我们显然得到2元钱，但是有的人很聪明，同样是存一年，我先存6个月(半年)，然后把本息和拿出来，再存6个月，很显然这样收益相对一口气存1年要来的方便。

用如下的式子计算：

那么相同的道理，对于先前存的6个月，我再分一半，先存3个月，完后取出本息和再存三个月，很显然能够看到，这就形成了一个无限二分的局面，最终我们的收益由下面的式子给出：

那么根据上面我们得到的结论，每次二分都将使得收益增加，那么下去我们会得到一个无穷大的数吗？我们存1块钱到这个银行里就会变成大款吗？

通过n取2,3,4,5…等一系列数据，数学家进行了大量计算，发现上面的极限其实趋向了一个无限不循环小数：2.718281828459……为了表示的方便，于是数学家将这个无限不循环小数定义为：e.

这体现了定以后的数学系统是自洽的。

换言之，上面那个看似很bug的存款机制，最终你最多最多得到的钱是e。就像知乎上有人说的：“上帝给追求极致的人划了一条线”。但是这条线也是很迷离的，因为e是一个无限不循环小数，你二分次数越多，得到的结果无非是小数点后加了几位，但是确确实实满足了上文我们所说的“增加二分次数就会增益”的结论。

虚数单位i：

数学的发展伴随着数轴的扩充，而数轴的扩充无不伴随着对现实认识的深入。

自然数扩张到整数：增加的负数可以对应“欠债、减少”

从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”

从有理数扩张到实数：增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度”

从实数扩张到复数：增加的虚数对应什么？

“对现实认知的深入伴随着维度的上升。”

考虑这样一个问题，从1到-1我们有哪些方法。

最容易想到的，就是1 – 2 = -1，即在数轴上，在1处向左移动两个单位即可。

但是方法唯一吗？如果上升到二维的角度，我们能够将其看成如下的一个过程：

(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去，这个式子就变为：

(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i ：
i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。由此我们就不难解读出引入i的现实意义：它帮助我们做矢量角度的运算，想想看这在处理《模拟电子技术》中是否有着重要应用。

(这里非常容易引起的一个疑问就是，在定义中我们为什么将两个“逆时针旋转90°作了乘法”而不是加法，这在引入复数的加法和乘法后将会很容易看到，初始的定义方法和后边定义的运算应该保持自洽)

 

  需要说明的是，复数这一部分和极坐标、二维向量之间有着千丝万缕的联系，很多人觉得这个就是那个，这里只能说但定义方式和运算上很多相同的地方，但是如果详细去了解他们的现实含义，其实依然是有本质不同的地方的。

复数的加法：

简单来说，就是实部加实部，虚部加虚部，这里和二维向量的运算非常像。

复数的乘法：

比如，一条船的航向是 3 + 4i 。
如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于

r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式，得到

cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于

cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

上帝公式：0、1、π、e、i的关系.

它将5个最为常见的的数学常数联系在了一起，很遗憾我们并准确定义iπ对应着怎样的现实，因此常常有人说，上帝公式是最美的公式，因为你看不懂。

参考文献：《数学常数e的含义》http://www.guokr.com/article/50264/

《虚数的意义，虚数到底是什么》 http://www.guokr.com/post/432219/