LFYZ-OJ ID: 1015 统计数字（NOIP2007）

分析

本体思路很简单：读入数据，排序、统计、输出。难点在于数据量较大，选择何种排序方法就极为重要，否则很容易发生内存或时间超限。可以考虑以下几种思路：

1. 桶排序
   
   桶排序是可以想到的最简单方法，可在O(n)的时间内一次性完成排序和统计：tong[number]++;，考虑到本题中被统计的数字的范围0~1.5*10^9，就需要至少1.5*10^9大小的桶，这样大的一个int数组所占用的内存空间为6*10^9字节（32位计算机中一个int为4个字节），即6G Byte，已经远远超了128M Byte的要求，故桶排序无法使用。

2. 冒泡排序
   
   冒泡排序是最简单的一种稳定性排序，时间复杂度为O(n²)。可以考虑将所有的数据读入一个数组中再进行排序、统计。根据题目已知n的范围：1~200000，按最坏情况考虑，O(n^2)=2*10^10，单核心CPU时钟频率数量级一般为GHz，即1s可以执行1*10^9条指令（这里仅为数量级上的估算，不同型号CPU在不同计算机系统下的具体计算速度是不一样的）。可见使用冒泡排序很难在1s内完成排序，需要更高效的排序方法。

3. 插入排序
   
   插入排序的时间复杂度也是O(n²)，但考虑这样一种情况，因为不相同的数字不超过10000个，对于已经存在的数字，我们简单的对其计数，对于不存在的数字，进行插入排序。具体分析如下：

   • 对于不相同的数字，最多进行10000个插入操作，相当于10000个数字进行插入排序，所需时间为1*10^8，这是CPU在1s内能够完成的。
   • 对于相同的数字，因为已经存在，只需要将其找出，并对其计数加1，如果使用顺程序查找的话，时间复杂度为O(n)，在10000个数字里面查找一个数字，最坏情况选需要10000次，那么在最糟糕情况下：统计200000个数字，其中有10000次为插入&排序操作，190000次为查找计数操作，这190000次消耗时间最多为190000*10000=1.9*10^9，远超CPU单位时间（1s）内的运算能力。为了减少这部分时间，考虑到我们是在一个已拍好序的序列中查找，因此可以使用折半查找，每次查找的次数最多为log10000，最多14次，那么190000次查询消耗时间最多为190000*14=2.66*10^6，耗时最够低，满足我们的要求。
   • 算法思路如下：
     1. 初始化count=0，序列NUM[10001][2]={0};
     2. 读入一个数字number
     3. 在序列NUM中查找这个number并返回位置wz
     4. 如果wz==-1（不存在），将number以插入排序方式插入序列，count++
     5. 如果wz>0（存在），则该位置计数加1，NUM[wz][1]++;
     6. 返回第2步

该思路是在一边插入、一边排序、一边统计，代码见例程1。

1. 快速排序
   
   快速排序是一种很高效的排序方法：时间复杂度为nlogn，将n个数字进行排序的话最大时间为200000*log200000，约为3.6*10^6，可见效率极高，当然这个数字是最理想情况了，实际情况差点，但在数量级上一般不会差异过大。这里不再详细分析快速排序，可参考输油管道问题。代码见例程2。

2. 使用algorithm算法库
   
   如果允许使用algorithm算法库，问题就更简单了，直接使用sort函数，有人问这个sort函数使用了什么算法，这就复杂了：STL中的sort在普通快速排序的基础上进行了优化，它还结合了插入排序和堆排序。根据不同的数量级别以及不同情况，能自动选用合适的排序方法。当数据量较大时采用快速排序，分段递归。一旦分段后的数据量小于某个阀值，为避免递归调用带来过大的额外负荷，便会改用插入排序。而如果递归层次过深，有出现最坏情况的倾向，还会改用堆排序。晕了吧？要知道，C++中的STL模板库可都是聪明人写出来的……不打击你了，感兴趣的话，自己去下载STL的源代码学习学习吧，本题使用sort的代码见例程3。

例程1：插入排序和二分查找

#include<iostream>
using namespace std;

int a[10001][2];					//存储序列，a[i][0]为数字，a[i][1]为计数
int count=0;						//存储序列中的数字个数 

int find(int num){					//二分查找
	int low=1, high=count, middle;
	while(low<=high){
		middle=(low+high)/2;
		if(a[middle][0]==num)	return middle;
		if(num<a[middle][0])	high=middle-1;
		if(num>a[middle][0])	low=middle+1;
	}
	return -1;						//-1为未找到
}

int main(){
	int n;
	scanf("%d", &n);
	while(n>0){						//循环读入并处理n个数字
		int num, wz;				//num临时存放读入的数字，wz为t在a中的位置
		scanf("%d", &num);
		wz=find(num);
		if(wz==-1){					//t没找到，插入到a中
			int pos=++count;		//pos为新插入点值，作为哨兵进行插入排序
			a[pos][0]=num;
			a[pos][1]=1;
			while(pos>1 && a[pos][0]<a[pos-1][0]){
				int t=a[pos][0];
				a[pos][0]=a[pos-1][0];
				a[pos-1][0]=t;
				t=a[pos][1];
				a[pos][1]=a[pos-1][1];
				a[pos-1][1]=t;
			}
		}else a[wz][1]++;			//t找到了，计数加1
		n--;
	}
	for(int i=1; i<=count; i++)		//循环输出
		printf("%d %d\n", a[i][0], a[i][1]);
	return 0;
}

例程2：快速排序

#include<iostream>
using namespace std;

int a[200001];
void qsort(int l, int r){
	int i,j,m,p;
	i=l; j=r;                                   //i从左边开始找，j从右边开始找
	m=a[(l+r)/2];                               //m为枢轴
	while (i<=j)                                //循环条件
	{
		while (a[i]<m) i++;
		while (a[j]>m) j--;
		if (i<=j)
		{
			p=a[i]; a[i]=a[j]; a[j]=p;
			i++; j--;
		}
	}
	if (i<r) qsort(i,r);                        //递归和终止条件
	if (l<j) qsort(l,j);                        //递归和终止条件
}

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)	scanf("%d",&a[i]);
	qsort(1,n);
	for (int i=1, count=0; i<=n; ++i){
		count++;								//累加计数
		if((i==n) || (a[i]!=a[i+1])){			//如果是最后一个或者下个数字不等于当前数字
			printf("%d %d\n",a[i], count);		//输出
			count=0;							//count归0
		}
  	}
	return 0;
}

例程3：使用algorithm库中的sort算法

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main(){
  int n;
  int a[200001];
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",&a[i]);	//从下标1开始存放
  sort(a+1, a+n+1);								//sort排序
  for(int i=1,count=0; i<=n; ++i){
    count++;									//累加计数
	if ((i==n) || (a[i]!=a[i+1])){				//如果是最后一个或者下个数字不等于当前数字
		printf("%d %d\n",a[i], count);			//输出
		count=0;								//sum归0
	}
  }
  return 0;
}