剑指offer三十五之数组中的逆序对

一、题目

　　在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

二、思路

方法一：

　　看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。没扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

 

方法二：

　　 我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

                                                      

 1、在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 ，如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

 

2、接下来我们统计两个长度为2的子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。     

     

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。对应图中的详细过程如下：

　　(a) P1指向的数字大于P2指向的数字，表明数组中存在逆序对．P2 指向的数字是第二个子数组的第二个数字， 因此第二个子数组中有两个数字比7 小． 把逆序对数目加2，并把7 复制到辅助数组，向前移动P1和P3. 
　　(b) P1指向的数字小子P2 指向的数字，没有逆序对．把P2 指向的数字复制到辅助数组，并向前移动P2 和P3 . 
　　(c) P1指向的数字大于P2 指向的数字，因此存在逆序对． 由于P2 指向的数字是第二个子数组的第一个数字，子数组中只有一个数字比5 小． 把逆序对数目加1 ，并把5复制到辅助数组，向前移动P1和P3 .

　　(d) 即复制第二个子数组最后剩余的4 到辅助数组中. 

3、经过前面详细的诗论， 我们可以总结出统计逆序对的过程：

　 先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。

三、代码

/*归并排序的改进，把数据分成前后两个数组(递归分到每个数组仅有一个数据项)，
合并数组，合并时，出现前面的数组值array[i]大于后面数组值array[j]时；则前面
数组array[i]~array[mid]都是大于array[j]的，count += mid+1 - i
参考剑指Offer，但是感觉剑指Offer归并过程少了一步拷贝过程。
还有就是测试用例输出结果比较大，对每次返回的count mod(1000000007)求余
*/

public class Solution {
    public int InversePairs(int[] array) {
        if (array == null || array.length == 0) {
            return 0;
        }

        //定义辅助数组
        int[] copy = new int[array.length];
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            copy[i] = array[i];
        }

        //数值过大求余
        int count = InversePairsCore(array, copy, 0, array.length - 1);

        //返回结果
        return count;

    }

    private int InversePairsCore(int[] array, int[] copy, int low, int high) {
        if (low == high) {
            return 0;
        }
        int mid = (low + high) >> 1;
        int leftCount = InversePairsCore(array, copy, low, mid) % 1000000007;
        int rightCount = InversePairsCore(array, copy, mid + 1, high) % 1000000007;

        int count = 0;
        int i = mid;
        int j = high;
        int locCopy = high;

        while (i >= low && j > mid) {
            if (array[i] > array[j]) {
                count += j - mid;
                copy[locCopy--] = array[i--];
                if (count >= 1000000007)//数值过大求余
                {
                    count %= 1000000007;
                }
            } else {
                copy[locCopy--] = array[j--];
            }
        }

        for (; i >= low; i--) {
            copy[locCopy--] = array[i];
        }

        for (; j > mid; j--) {
            copy[locCopy--] = array[j];
        }

        for (int s = low; s <= high; s++) {
            array[s] = copy[s];
        }

        return (leftCount + rightCount + count) % 1000000007;
    }
}

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参考链接：

https://www.nowcoder.com/questionTerminal/96bd6684e04a44eb80e6a68efc0ec6c5